应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)

1、应用多元统计分析,第二章部分习题解答,2,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-1 设3维随机向量XN3(,2I3)，已知,试求Y=AX+d的分布.,解:利用性质2,即得二维随机向量YN2(y,y), 其中：,3,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-2 设X=(X1,X2)N2(,)，其中,（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.,解: (1) 记Y1 X1 +X2 (1,1)X, Y2 X1 -X2 (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又,故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.,4,第二章 多元正

2、态分布及参数的估计,或者记,由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.,5,第二章 多元正态分布及参数的估计,(2) 因,6,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知,其中(i) (i1，2)为p维向量,i (i1，2)为p阶矩阵，(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.,解 :(1) 令,7,第二章 多元正态分布及参数的估计,由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.,8,第二章 多元正态分布及参数的估

3、计,(2) 因,所以,注意:由D(X)0,可知 (1-2) 0.,9,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-11 已知X=(X1,X2)的密度函数为,试求X的均值和协方差阵.,解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=12,10,第二章 多元正态分布及参数的估计,类似地有,11,第二章 多元正态分布及参数的估计,0,12,第二章 多元正态分布及参数的估计,所以,故X=(X1,X2)为二元正态分布.,13,第二章 多元正态分布及参数的估计,解二:比较系数法 设,比较上下式相应的系数,可得:,14,第二章 多元正态分布及参数的估计,故X=(X1,X2)为二元正态随机向量.且,解三:两次配方法,15,

4、第二章 多元正态分布及参数的估计,即,设函数 是随机向量Y的密度函数.,16,第二章 多元正态分布及参数的估计,(4) 由于,故,(3) 随机向量,17,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-12 设X1 N(0,1),令,证明X2 N(0,1); 证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.,证明(1):任给x,当x-1时,当x1时,18,第二章 多元正态分布及参数的估计,当-1x1时,(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有,19,第二章 多元正态分布及参数的估计,若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知, 它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分

5、布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.,20,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-17 设XNp(,),0,X的密度函数记为f(x;,).(1)任给a0,试证明概率密度等高面 f(x;,)= a 是一个椭球面. (2) 当p=2且 (0)时，,概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.,证明(1):任给a0,记,21,第二章 多元正态分布及参数的估计,令 ,则概率密度等高面为,(见附录5 P390),22,第二章 多元正态分布及参数的估计,故概率密度等高面 f(x;,)= a是一个椭球面.,(2)当p=2且 (0)时,由,可得的特征值,23,第二章 多元正态分布及参数的估计,i (i=1,2)对应的特征向量为,由(1)可得椭圆方程为,长轴半径为 方向沿着l1方向(b0);,短轴半径为 方向沿着l2方向.,24,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-19 为了了解某种橡胶的性能，