（结构动力学6）多自由度体系运动方程

1、结构动力学 （2010）,结构动力学 第六章 多自由度体系的运动方程,第六章 多自由度体系的运动方程 以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。 工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等等。,第六章 多自由度体系的运动方程 虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层结构抗震设计时采用的简化分析方法基底剪力法。对于一个烟囱，也可以采用如下形函数， 化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的

2、高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。,第六章 多自由度体系的运动方程 建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平衡法(d Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩阵位移法的直接平衡方程和基于变

3、分原理的Lagrange方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程，概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题，采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两种方法。,直接平衡法 在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表达式。我们可以直接应用这些矩阵完成

4、远动方程的建立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布参数系统分析方法中逐步得到学习。,6.1 直接平衡法 首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法） 如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi，外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1, , N。这个层间模型也可以转化成质点弹簧模型。,6.

5、1 直接平衡法 应用dAlember原理 fIi惯性力； fDi阻尼力； fsi弹性恢复力； pi外力。 共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。,6.1 直接平衡法 弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一般表达式为： 系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是： kij由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力 即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。,6.1 直接平衡法 弹性恢复力 对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式， fs称为弹性恢复力向量， k称为刚度矩阵， u称为位移向量。,6.1 直接平衡法 对于三层结构， 刚度

6、矩阵为：,6.1 直接平衡法 对于惯性力也可以用矩阵的形式表达： 其中fI称为惯性力向量，M称为质量矩阵，为加速度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质量系数或质量，它的含义是： mij由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力 即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自由度加速度为零时，所需要的力。,6.1 直接平衡法 对于三层结构， 忽略柱的质量， 体系的质量矩阵为：,6.1 直接平衡法 如果柱的质量不能忽略，则M的非对角线元素将不恒为零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 为柱的质量线密度。,6.1 直接平衡法 若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法

7、也可以建立如下阻尼力向量的计算公式： 其中fD称为阻尼力向量，C称为阻尼矩阵，为速度向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物理意义： cij由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力 结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如与刚度成正比等。,6.1 直接平衡法 外荷载向量可写成 ： 其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。,6.1 直接平衡法 根据式： 结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为： M质量矩阵； C阻尼矩阵； K刚度矩阵； p(t)外荷载向量。,6.1 直接平衡法 如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以

8、用矩阵形式表达 其kG称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意义如下： kGij 由第j个自由度单位位移和结构中轴力 共同引起的i自由度的附加力,6.1 直接平衡法 下面用一个简单的例子说明几何刚度的求法。 kGjj和kGij可根据力的平衡 条件确定，分别对柱的i点 和j点取矩，可以得到 同理可以得到： 则柱单元的几何刚度为： 由单元的几何刚度可以组装成结构体系的总体几何刚度阵。,6.1 直接平衡法 当考虑轴力影响(P -效应)时，运动方程可写为： 上式也常表示成如下形式： 以上给出了一般情况下多自由度结构体系的运动方程组的矩阵表达形式，建立这一矩阵方程的关键是建立体系的质量、阻尼和

9、刚度矩阵。,6.1 直接平衡法 体系的总体刚度和质量矩阵可分别由单元的刚度阵和质量阵总装得到，下面不加推导地给出与横向线位移和转角自由度相应的梁单元的刚度和质量矩阵。下图给出了梁单元及其自由度，即梁端横向位移和转角。梁端位移向量定义如下， 其中，l为梁长、EI为 梁截面的抗弯刚度、 为梁的质量线密度； 下标e代表单元。,6.1 直接平衡法 梁单元的刚度矩阵： 集中质量矩阵： Lumped-mass 一致质量矩阵： Consistent-mass,静力凝聚法 当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由度的惯性力为0，此时可以采用静力凝聚法，消去无质量的自由度。若平动和转动自由度分

10、别用下标t和区分，则采用集中质量方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式， 由第二个方程组可解得： 代入第一个方程组得： 新的运动方程仅包括平动自由度而无转动自由度。,静力凝聚法 静力凝聚法和动力自由度的定义相互呼应。当体系的某一自由度无质量时，与其相应的惯性力为0，根据动力自由度的定义，这些自由度不属于动力自由度，在体系动力分析中可以不考虑（不出现），而静力凝聚法正式将此目标实现，使得体系的运动方程仅存在动力自由度项。,6.2 Lagrange运动方程 我们在第二章中介绍了Lagrange运动方程，但没有实际应用。用Lagrange运动方程来建立结构体系的运动控制方程对那些不易直接

11、用动平衡方法建立运动方程的问题有时是特别有效的，特别是当结构动力分析时采用了不易直观判断的广义坐标时更是如此。例如，用幂级数展开烟囱或等效高层结构的横向位移 式中qi(t)（i=2, N+1）为广义坐标，直接采用 动平衡分析方法很难建立关于广义坐标qi(t)的 运动方程，这时可以采用Lagrange运动方程。,6.2 Lagrange运动方程 下面简要回顾一下Lagrange运动方程。Lagrange运动方程可由Hamilton原理推出，Hamilton原理： 式中: T 体系的总动能； V 体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能； Wnc 作用在体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）

12、所做的功； 指在指定时间段t1，t2内所取的变分。,6.2 Lagrange运动方程 一般情况下，体系的动能、势能及非保守力功的变分可表示如下形式: q1, q2, , qN为广义坐标， Q1 , Q2, , QN非保守力，例如外力、阻尼力等。 将T、V、Wnc代入Hamilton原理，对动能项采用分部积分，再利用变分任意性，可得到Lagrange运动方程。,6.2 Lagrange运动方程 只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构体系的运动控制方程。 下面通过算例来介绍如何应用Lagrange方程

13、，从算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运动方程不限于线性。,6.2 Lagrange运动方程 算例6.1 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量分别为m1和m2，忽略杆的分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。 为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。,6.2 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例6.1 和 广义坐标q1、q2 的关系 及其 速度之间的关系如下，,6.2 Lagrange运动方程算例6.1 体系的动能T： 设q1=q2=

14、 0时是0势能位置，则势能（位能）V：,6.2 Lagrange运动方程 算例6.1 取Lagrange方程中的i=1, 2，得到， 假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0， 将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程： 可以发现以上运动方程公式是高度非线性的。,6.2 Lagrange运动方程 算例6.1 复合摆的运动方程： 当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可以化为： 这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的运动方程才成为线性的。 当m2=0时: 自振频率：,6.2 Lagrange运动方程 算例6.2 如图所示，一无质量的悬臂梁的一端连接一

15、刚性块体，刚块的总质量为m，上面作用均匀分布的外力 p0f(t), 取刚块两端的位移q1、q2为广义坐标，建立体系的运动方程。,6.2 Lagrange运动方程 算例6.2 体系的动能T： 位能V： 外力（非保守力）的虚功： 由此可得非保守力：,6.2 Lagrange运动方程 算例6.2,6.2 Lagrange运动方程 算例6.3 如图所示二自由度的串联弹簧质点体系，用Lagrange法建立体系的运动方程。 体系的动能： 位能： 非保守力：,6.2 Lagrange运动方程 算例6.3 参照Lagrange方程， 令：q1=u1，q2=u2 (1)：i=1 (2)：i=2,算例6.3 体系

16、的总体运动方程为： 如果m2=0，由式（b）解得： 代入式（a）得： 如果p1(t)=0，则： 如果p1(t)=p2(t)=0，则：,算例6.3 分析算例6.3可以获得以下启发， 用Lagrange方程得到的方程与第一次作业结果是一样的。 动力自由度的概念、用处及与静力自由度的区别。 静力凝聚的概念，是应用静力凝聚法的具体实现。 在结构动力分析中，外荷载可以作用在结构的任何位置，而不必须作用在动力自由度之上。当外荷载不直接作用在动力自由度之上时，荷载的影响将通过结构的弹性传递，影响到动力自由度的运动方程。 在获得了动力自由度的运动后，结构静力自由度的运动可由动力自由度的结果求得，计算中，还要考

17、虑直接施加到静力自由度之上外荷载的影响。,6.3 普遍运动方程的推导 下面以弯曲长梁为例，简要说明用有限个广义坐标（即有限个自由度）来近似无限自由度体系，并建立其运动方程。弯曲梁模型如图所示，材料的弹性模量E(x)，截面惯性矩I(x)，质量线密度m(x)，分布外荷载p(x, t)。,6.3 普遍运动方程的推导 采用有限个广义坐标，近似梁的变形（位移） 其中qi（i=1, 2, N）为广义坐标，i(x)（i=1, 2, N）是形函数，满足边界条件。 结构的动能： (忽略转动惯量) 弯曲应变能：,6.3 普遍运动方程的推导 为得到非保守力Q1，Q2 QN，可以通过讨论非保守力的虚功Wnc来确定。非

18、保守力的虚功有非保守内力（材料阻尼）虚功和外力虚功，下面分别讨论。 非保守内力的虚功是由于材料的粘性引起的，下面分析一下其表达式。当考虑材料的阻尼时，材料的应力应变关系为 其中，(t) 应力，(t) 应变，E弹性模量，cs粘性阻尼系数。 根据应力应变关系，可以得到内力位移关系，对梁是弯矩曲率关系，,6.3 普遍运动方程的推导 第一项是保守力，将产生弯曲应变能，在前面已计算，后一项是由材料粘性引起的非保守力，它在任一个曲率变分（即位移变分引起的曲率）上做的虚功为 而外力的虚功为： 则非保守内力为：,6.3 普遍运动方程的推导 将T、V、Qi代入Lagrange方程，得到体系的运动方程， 运动方程

19、也可以写成矩阵的形式: 其中，,6.3 普遍运动方程的推导 质量阵、阻尼阵和刚度阵中的元素已由前面的公式算出，各矩阵中的元素满足：mij =mji，cij = cji，kij = kji，矩阵是对称的。如果广义坐标是离散节点的位移，即qi=ui，则用Lagrange法给出的方程与前面用直接平衡法给出的矩阵运动方程完全一样。 以上推导中很多内容是重复的，新的最重要的部分是关于质量阵、阻尼阵和刚度阵(中各元素)的计算公式。 当我们以后讲到有限元方法时，可以发现，它们的计算公式基本相同，即运动方程中当结构几何尺寸和材料性质给定时，不同矩阵的确定仅与形函数i(x)有关，一旦选定了形函数，则结构体系的质量、刚度和阻尼元素就可以获得。等效的外荷