高数下十一章重点总结+例题

1、第十一章 曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5.知道散度与旋度的概念，并会计算。6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应

2、用。【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。【教学课时分配】 (14学时)第1 次课 第2 次课 2 第3 次课 3第4 次课

3、4 第5次课 5 第6次课 6第7次课 习题课 【参考书】1同济大学数学系.高等数学（下），第五版.高等教育出版社.2 同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育出版社.3 同济大学数学系.高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教育出版社11.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为m(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧长); 任取(xi , hi)Dsi, 得第i小段质量

4、的近似值m(xi , hi)Dsi; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn0, 则整个物质曲线的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界.，将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长; 在每一弧段Dsi上任取一点(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn, 如果当l0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数,

5、L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数, 则 ; 性质2

6、 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 ; 性质3设在L上f(x, y)g(x, y), 则 . 特别地, 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为x=j(t), y=y (t) (atb),则质量元素为 , 曲线的质量为 . 即 . 定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一阶连续导数, 且j2(t)+y2(t)0, 则曲线积分存在, 且 (ab)

7、. 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(axb), 则=?提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(cyd), 则=?提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 则=? 提示: . 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 (0x1), 因此 . 例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设

8、线密度为m=1). 解 取坐标系如图所示, 则. 曲线L的参数方程为 x=Rcosq, y=Rsinq (-aq0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得, 其中l的方向取逆时针方向. 于是 =2p.记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)D时, 由格林公式得 . 分析: 这里, , 当x2+y20时, 有. 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关: 设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2, 等式 恒成立, 就说曲线积分在G内与路径无

9、关, 否则说与路径有关. 设曲线积分在G内与路径无关, L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线, 则有 , 因为 , 所以有以下结论: 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零. 定理2 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 充分性易证: 若, 则, 由格林公式, 对任意闭曲线L, 有 . 必要性: 假设存在一点M0G, 使, 不妨设h0, 则由的连续性, 存在M0的一个d 邻域U(M0, d), 使在此邻域内有

10、. 于是沿邻域U(M0, d)边界l 的闭曲线积分 , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G内. 应注意的问题: 定理要求, 区域G是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点. 例5 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因为在整个xOy面内都成立, 所以在整个xOy面内, 积分与路径无关. . 讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点(0

11、, 0)不连续. 因为当x2+y20时, , 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关. 如果与路径无关, 则把它记为 即 . 若起点(x0, y0)为G内的一定点, 终点(x, y)为G内的动点, 则 u(x, y)为G内的的函数. 二元函数u(x, y)的全微分为du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy与函数的全微分有相同的结构,

12、但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个二元函数u(x, y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 简要证明: 必要性: 假设存在某一函数u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 则有 , . 因为、连续, 所以, 即. 充分性: 因为在G内, 所以积分在G内与路径无关. 在

13、G内从点(x0, y0)到点(x, y)的曲线积分可表示为 u(x, y). 因为 u(x, y) , 所以 . 类似地有, 从而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函数的全微分. 求原函数的公式: , , . 例6 验证:在右半平面(x0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解: 这里, . 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在右半平面内, 是某个函数的全微分. 取积分路线为从A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折线, 则所求函数为 . 问: 为什么(x0, y0)不取(0, 0)?

14、 例7 验证: 在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P=xy2, Q=x2y. 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分. 取积分路线为从O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折线, 则所求函数为 . 思考与练习: 1.在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, 那么(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零? (3) 在G内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一

15、函数u(x, y)的全微分? 2.在区域G内除M0点外, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, G1是G内不含M0的单连通区域, 那么(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?(3) 在G 1内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 3. 在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, , 但非常简单, 那么(1)如何计算G内的闭曲线积分? (2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算, 其中L为逆时针方向的上半圆周(x-a)2+y2=a 2, y0, 小结1.

16、格林公式2. 格林公式中的等价条件。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。师生活动设计讲课提纲、板书设计作业 P214: 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)11. 4 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题: 设S为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为r(x, y, z), 求其质量: 把曲面分成n个小块: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面积);求质量的近似值: (xi, hi, zi )是DSi上任意一点); 取极限求精确值:

17、 (l为各小块曲面直径的最大值). 定义 设曲面S是光滑的, 函数f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小块: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面积), 在DSi上任取一点(xi, hi, zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值l0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面. 对面积的曲面积分的存在性: 我们指出当f(x, y, z)在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的. 今后总假定f(x, y, z)在S上连续. 根据上述

18、定义面密度为连续函数r(x, y, z)的光滑曲面S的质量M可表示为r(x, y, z)在S上对面积的曲面积分: 如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和. 例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作S=S1+S2)就规定 . 对面积的曲面积分的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则 ; (2)若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则 ; (3)设在曲面S上f(x, y, z)g(x, y, z), 则 ; (4), 其中A为曲面S的面积. 二、对面积的曲面积分的计算 面密度为f(x, y, z)的物质曲面的质量为. 另一方面,

19、如果S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为D , 那么 曲面的面积元素为,质量元素为. 根据元素法, 曲面的质量为 . 因此. 化曲面积分为二重积分: 设曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续偏导数, 被积函数f(x, y, z)在S上连续, 则 . 如果积分曲面S的方程为y=y(z, x), Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 . 如果积分曲面S的方程为x=x(y, z), Dyz为S在yOz面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对

20、面积的曲面积分为 . 例1 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0h0, 在曲面的下侧cosg0, 在曲面的左侧cosb0, 在曲面的后侧cosa0. 设S是有向曲面. 在S上取一小块曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(Ds)xy.假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g的余弦cosg有相同的符号(即cosg都是正的或都是负的). 我们规定DS在xOy面上的投影(DS)xy为 , 其中cosg0也就是(Ds)xy=0的情形. 类似地可以定义DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一侧的流量: 设稳定流

21、动的不可压缩流体的速度场由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)给出, S是速度场中的一片有向曲面, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上连续, 求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量, 即流量F. 如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v, 又设n为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体. 当(v,n)时, 这斜柱体的体积为 A|v|cosq=A vn. 当(v,n)时, 显然流体通过闭区域A

22、的流向n所指一侧的流量F为零, 而Avn=0, 故F=Avn; 当(v,n)时, Avn0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一点, 故zi=z(xi, hi). 从而有 . 令l0取上式两端的极限, 就得到 . 同理当S取下侧时, 有 . 因为当S取上侧时, cosg0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 当(xi, hi, zi)S时, zi=z(xi, hi). 从而有 . 同理当S取下侧时, 有 . 这是因为n=(cosa, cosb , cosg), , , . 类似地, 如果S由x=x(y, z)给出, 则有 . 如果S由y=y(z, x)

23、给出, 则有 . 应注意的问题: 应注意符号的确定. 例1. 计算曲面积分 , 其中S是长方体W的整个表面的外侧, W=(x, y, z) |0xa, 0yb, 0zc ). 解: 把W的上下面分别记为S1和S2; 前后面分别记为S3和S4; 左右面分别记为S5和S6. S1: z=c (0xa, 0yb)的上侧; S2: z=0 (0xa, 0yb)的下侧; S3: x=a (0yb, 0zc)的前侧; S4: x=0 (0yb, 0zc)的后侧; S5: y=0 (0xa, 0zc)的左侧. S6: y=b (0xa, 0zc)的右侧; 除S3、S4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影

24、为零, 因此 =a2bc . 类似地可得 , . 于是所求曲面积分为(a+b+c)abc. 例2 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外侧在x0, y0的部分. 解 把有向曲面S分成以下两部分: : (x0, y0)的上侧, : (x0, y0)的下侧. S1和S2在xOy面上的投影区域都是Dxy : x2+y21(x0, y0). 于是 . 三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续. 如果S取上侧, 则有. 另一方面,

25、 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦为 , , , 故由对面积的曲面积分计算公式有 . 由此可见, 有 . 如果S取下侧, 则有 . 但这时, 因此仍有 , 类似地可推得 , . 综合起来有 , 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式: , 或, 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影. 例3 计算曲面积分

26、, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧. (提示: 曲面上向下的法向量为(x, y, -1) ) , , . 故 =8p. . 小结1.两类曲面积分及其联系；2.常用计算公式及方法，注意：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意二重积分是第一类曲面积分的特殊情况，两类曲面积分及其联系，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.两类曲线积分的定义一个与 S 的方向无关, 一个与 S的方向有关,与书中联系公式是否矛盾 ?2.课后习题：2，3讲课提纲、板书设计作业 P228: 3 (1) ,(2) ,(4) ;4 11. 6 高斯公式 高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数, 则有 , 或 , 简要证明 设W是一柱体, 上边界曲面为S1: z=z2(x, y), 下边界曲面为S2: z=z1(x, y), 侧面为柱面S3, S1取下侧, S2取上侧; S3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有 . 另一方面