傅立叶变换的推导

1、第二章 确定信号分析,第一节 确定信号的傅里叶变化及其推导 第二节 典型信号的傅里叶变换 第三节 傅里叶变换的性质 第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理,QH2.0.2,第一节 确定信号的傅里叶变换及其推导,1，傅里叶变换的基本结论 2，三角形式的傅里叶级数的推导 3，三角形式的傅里叶级数的分析 4，指数形式的傅里叶级数的推导 5，指数形式的傅里叶级数的分析 6，傅里叶变换的推导 7，傅里叶变换的分析,QH2.1.1,（1）三角形式的傅里叶级数 （2）复数形式的傅里叶级数 （3）傅里叶变换,1，傅里叶变换的基本结论,QH2.1.2,式2.1.1 根据三角函数的正交性，对式2.1.1两边积分，

2、得：,2，三角形式的傅里叶级数的推导,QH2.1.3,对式2.1.1两边同乘 再在 积分，得：,2，三角形式的傅里叶级数的推导,QH2.1.4,同理，对式2.1.1两边同乘 再在 积分，得：,2，三角形式的傅里叶级数的推导,QH2.1.5,由此可得三角形式的傅里叶级数： 其中：,2，三角形式的傅里叶级数的推导,式2.1.2,式2.1.3,式2.1.4,QH2.1.6,（1）奇偶性 为偶函数 为奇函数,3，三角形式的傅里叶级数的分析,QH2.1.7,（2）同频合并： 其中： 被称为频率谱， 被称为相位谱。,3，三角形式的傅里叶级数的分析,QH2.1.8,令 ，则 （奇偶性） 令 ，则得：,4，指

3、数形式的傅里叶级数的推导,QH2.1.9,4，指数形式的傅里叶级数的推导,QH2.1.10,（1）指数形式的傅里叶级数对 式2.1.5 式2.1.6 （2） 思考：其中的2到哪去了？,5，指数形式的傅里叶级数的分析,QH2.1.11,（3） 其中频率谱 相位谱 （4） 当 为偶函数时， ，则 为实函数， 当 为奇函数时， ，则 为纯虚函数，,5，指数形式的傅里叶级数的分析,QH2.1.12,由上一节的推导可知， 两边同乘T，得： ，其中 当 时， 令 ， 则,6，傅里叶变换的推导,QH2.1.13, ， 且 ， ,6，傅里叶变换的推导,QH2.1.14,（1）傅里叶变换对： 式2.1.7 式2

4、.1.8 规律：正变换为负，反变换为正。 （2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积,7，傅里叶变换的分析,QH2.1.15,第二节 典型信号的傅里叶变换,1，冲击函数 2，冲击偶函数 3，单边指数信号 4，双边指数信号 5，符号函数 6，指数函数 7，余弦函数 8，矩形窗函数,QH2.2.1,1，冲击函数,思考：0频率与冲击的区别。,QH2.2.2,2，冲击偶函数,QH2.2.3,3，单边指数信号,QH2.2.4,4，双边指数信号,QH2.2.5,可以看成是 ， ,5，符号函数,QH2.2.6,6，指数函数,QH2.2.7,7，余弦函数,QH2.2.8,8，矩形窗函数,QH2.2.9,第三

5、节 傅里叶变换的性质,1，对称性 2，尺度变换 3，时移特性 4，频移特性 5，奇偶虚实性 6，傅里叶变换综合例题,QH2.3.1,1，对称性,若 ，则 推导： 互换 和 ，得： 也即,QH2.3.2,2，尺度变换,若 ，则 推导： 令 则 ,QH2.3.3,3，时移特性,若 ，则 推导： 令 则 ,QH2.3.4,4，频移特性,若 ，则 推导： 令 则,QH2.3.5,5，奇偶虚实性,若 ，则： （1） （2） （3） 推导：（1）,QH2.3.6,5，奇偶虚实性,（2）,（3）由(1)(2)即可得。,QH2.3.7,6，傅里叶变换综合练习题,（1） （2） （3） （4） （5） （6）,

6、QH2.3.8,6，傅里叶变换综合练习题,（1）,QH2.3.9,6，傅里叶变换综合练习题,（2）,QH2.3.10,6，傅里叶变换综合练习题,（3）,QH2.3.11,6，傅里叶变换综合练习题,（4）,QH2.3.12,6，傅里叶变换综合练习题,（5）,QH2.3.13,特别地：当 时,6，傅里叶变换综合练习题,（6）,QH2.3.14,第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理,1，周期信号的傅里叶变换 2，抽样 3，对抽样的理解 4，低通抽样定理 5，带通抽样定理,QH2.4.1,1，周期信号的傅里叶变换,设 为周期信号，周期为T。则 可以展成傅里叶级数： 式2.4.1对式2.4.1两边进行

7、傅里叶变换可得： 式2.4.2 其中 为数值。 由傅里叶变换的知识， 式2.4.2变为：,QH2.4.2,1，周期信号的傅里叶变换,其中 为 的傅里叶级数的系数，即： 式2.4.3现在构造函数 为 在 的一段，其他部分为0，则 的傅里叶变换为： 式2.4.4 对照式2.4.3与式2.4.4可知， ,QH2.4.3,1，周期信号的傅里叶变换,特例：,当周期信号为冲击序列时：, 周期冲击序列的傅里叶变换为：,QH2.4.4,1，周期信号的傅里叶变换,周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：,QH2.4.5,（1）抽样的概念理解 （2）设连续信号 的傅里叶变换为 ，抽样序列 的傅里叶变换为 。抽样之后所

8、得序列 ，其傅里叶变换为 。 （3）抽样序列为周期信号， 其中用到了 函数的卷积性质,2，抽样,QH2.4.6,3，对抽样的理解,这是在 影响下， 在频域的平移，平移的周期是 。,QH2.4.7,3，对抽样的理解,（1）若 是理想冲击序列，则其傅里叶变换 为： 由周期信号傅里叶变换的性质， 也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以前的 ，也即一种无失真的抽样。,理想抽样,QH2.4.8,3，对抽样的理解,（2）若抽样序列 不是冲击序列，则抽样之后的频谱 将会出现失真，也即将 的包络叠加于 之上。,自然抽样,QH2.4.9,3，对抽样的理解,（3）平顶抽样 （4）直观理解 明明抽样了，为什么还会无失真呢？,QH2.4.10,4，低通抽样定理,通过上面的分析，设 的最高频率为 。抽样间隔为T，则抽样频率 。若 ，则可以从抽样信号中将原始信号恢复出来。 所以信号无失真抽样的最低频率为 ，这就是抽样定理。,QH2.4.11,5，带通