大学物理振动和波动第一章振动学基础

1、第一章 振 动,本章中心任务-如何描述机械振动的规律。 本章核心内容-简谐振动及其数学表达式； 简谐振动的合成。,一物理量在某一定值附近周期性变化,力学量（如位移）,机械振动,电磁振动,电磁量（如I 、V、 E、 B）,广义：,振动,狭义：,物体在一定位置附近作来回往返的运动 （机械运动）,振动,受迫振动,自由振动,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,无阻尼自由谐振动,(简谐振动）,坐标原点必须在平衡位置的运动物体 的广义坐标,一、简谐振动(Simple Harmonic Vibration), 动力学特征,（广义弹性力）,（准弹性力）,合外力（矩）,平动：,（线）坐标,转动：,

2、角坐标,运动物体相对平衡位置的位移或角位移,1. 特征,x,G,N,F,m, 微分方程特征,加速度,角加速度,动力学方程, 运动学特征,振动方程, 简谐振动判据,例.（5503） 一质量为m的质点在力F = 的作用下沿x轴运动求其运动的周期,解：,2. 规律,速 度,加速度,位 移,振动方程,注意：,当简谐运动的物体是转动时，上两式给出的实际上是角速度和角加速度。,速 度,加速度,势 能,动 能,总 能,守恒！,3. 描述简谐振动的基本物理量,A, , .,由系统性质决定（故称固有频率）,由,定出,由初始条件决定。 （重点！）,由初始条件决定。,相位为 称初相位。, 圆频率（2秒内振动的次数)

3、,相位（决定振动状态的物理量）,振幅（最大位移的绝对值）,第一个振动与第二个振动相位差:,第一振动超前,第一振动落后,同向与反向,两振动同向,两振动反向,相位差:,超前与落后, 用初始条件求振幅A和初相位,用上两式时，特别注意 和 的正负号，从而正确判断出 究竟是 之间的哪一个值。,特别提醒：,以平衡位置为参考点作水平轴,以参考点为圆心、振幅 为半径作圆周（参考圆）,并且使 时刻矢量 与 轴之间的夹角为,已知 作旋转矢量图,作矢量 ，,4. 旋转矢量表示法,使矢量 绕 点沿逆时钟方向旋转，并且其 旋转角速度 固有圆频率,满足上述四个条件的矢量称为旋转矢量,旋转矢量在 轴下方,旋转矢量在 轴上方

4、,任意时刻 的末端在 轴上的投影,时刻 与 轴之间夹角,结论：, 相位, 坐标 （运动物体相对平衡位置的位移）, 速度方向,画旋转矢量图：取坐标、画圆周、 零时夹角为 、旋转逆时针,结论： 时夹角为相位、投影为坐标 上方速度负、下方速度正,1、以平衡位置为参考点 作水平轴,上方矢量为旋转矢量,下方矢量为旋转矢量, 已知初始条件 时, 作旋转矢量图, 写运动方程, 作旋转矢量图,3、过 点作 轴的垂线，,4、从 到 、 分别作矢量,与圆交点为 、,5、,2、以参考点为圆心、振幅 为半径作圆周（参考圆）,画旋转矢量图：取坐标、画圆周、通过 作垂线 到交点画矢量，若 在下 方; 反之在上方.,结论：

5、夹角, 写运动方程,例1（？）两个物体作同方向、 同频率、同振幅的 谐振动，在振动过 程中，每当第一个 物体经过位移为 的位置向平衡位 置运动时，第二个物体也经过此位置， 但向远离平衡位置的方向运动，试利用 旋转矢量法求它们的相位差。,第一个与第二个,第二个与第一个,-,-,本题相位差,例2（3054）一简谐振动的振动曲线如图所示。,求出振动方程,利用旋转矢量图求解振动方程,例2 解,振动方程,利用旋转矢量图求解振动方程,振动方程,例. 已知简谐振动 ， 当 时位 移为 且向 负向运动。 求（1）振动方 程。 （2） 且向 正向运动时的速度、加速 度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。,解（1

6、）,由旋转矢量得,（2）先求 由旋转矢量法,（半个周期）,o,由旋转矢量法,（用解析法也可求出！）,例. 已知 x t 曲线，写出振动方程， 并求它们的位相差？,x,解：,或,或,（1）位相差反映了两振动达到同一状态有时间差,讨论：,（2）若不给 ，如何求出 ？,利用曲线2正方向端点,二、阻尼振动、受迫振动、共振 (自学), 阻尼振动：,由于阻力的作用而使振动能量减小的一 种减幅振动。, 受迫振动：,振动系统在周期性外力的持续作用下发 生的振动。, 共振：,当驱动力的圆频率与系统固有圆频率相等时，振幅达到最大值的现象。,三简谐振动的合成 1同方向同频率的简谐振动的合成； 2同方向不同频率的简谐

7、振动的合成； 3相互垂直、同周期的简谐振动的合成； 4相互垂直、不同周期的简谐振动的合成,同方向同频率的简谐振动的合成,分振动:,合振动:,合振动振幅,合振动初相位,合振动圆频率,讨论：两种特殊情况,(1)若两分振动同相 2 1= 2k (k=0,1,2,),(2)若两分振动反相 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,),如 A1=A2 , 则 A=0,则 ，合振幅最大。,则 ，合振幅最小。,例3（5315）两个同方向、同频率 的简谐振动，其合振动的振 幅为20cm，与第一个简谐振 动的位相差为 。 若第一个简谐振动的振幅为 17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为？ 第一、二两个简谐振动的位

8、相差,解：,例4（3043） 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 (SI) , (SI) . 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程,解：,作两振动的旋转矢量图，如图：,合振动方程为：,2. 两同方向不同频率（相差较小）的合成,两音叉：,合振幅时强时弱的现象称为拍,拍频,3. 两同频率垂直振动的合成,直线,椭圆方程，形状决定于 及 、 。,分振动,消去 ，得合运动轨迹方程：,（1、3象限）,（2、4象限）,正椭圆,其它值,斜椭圆,右旋,左旋,4.不同频率垂直方向简谐振动的合成,称为李萨如图形。如：,两振动的频率成正数比时，合成轨迹稳定，,一般轨迹曲线复杂，且不稳定。,例

9、5（3006）一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份， 把其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物 体，求振动系统的频率。,解：,弹簧串联公式,弹簧并联公式,每一份,两根并联,频率,合外力,物体在平衡位置处弹簧伸长量,思考：,如果已知简谐振动物体的 曲线,如何求简谐振动方程？,简谐振动方程,在曲线 中，,曲线峰值,曲线上行,曲线下行,例6.（5185）用余弦函数描述一简谐振子的振动若其速度时间（vt）关系曲线如图所示,则振动的初相位为 (A) /6. (B) /3. (C) /2. (D) 2/3. (E) 5/6. ,A, 作业：1.7 1.9 1.16 1.33,第二章 波动学基础,振动在空间的传

10、播过程,波动：,波动,电磁波,机械波,:机械振动在媒质中的传播,:变化的电磁场在空间的传播,一、波动的基本概念,1. 机械波产生的条件,波源、媒质,2.机械波的传播特点,（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。,（2）后面质点重复前面质点的振动状态，有相位落后。,（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。,（4）振动状态、波形、能量向前传播。,横波、纵波（观察波动的特点）,动画,动画,水面波是什么波?,纵波与横波的合成,振动与波动,区别,联系,振动研究一个质点的运动。,波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。,振动是波动的根源。,波动是振动的传播。,3. 描述波动的基本量,4. 波

11、阵面与波线,球面波,平面波,最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！, 已知平衡位置在 处质点振动方程（位移）,（平衡位置坐标为 的任一质点 的振动方程）,任意时刻 ，平衡位置坐标为 的质点、相对平衡位置的位移,二、平面简谐波的波函数（波动方程）,1. 波函数:,2. 波函数推导方法,处质点的振动落后于 处质点的振动,设平衡位置坐标为 的质点的振动方程，即 波函数:,沿 轴正向传播的简谐波,沿 轴正向传播的简谐波的波函数：,（已知平衡位置在 处质点振动方程 ）,波数：,沿 轴负向传播的简谐波的波函数：,（已知平衡位置在 处质点振动方程 ）,思考：,如果 不是 处质点 的振动方程（位移）；或者 处

12、质点 的振动方程（位移）不是 这样一个形式，波函数还是,吗？,不是,如果不是的话,是推倒过程中的哪一步有了变化？, 正向传播, 负向传播,3. 波函数的物理意义,（1） 一定时，,处质点的振动方程,此点初相为：,（2） 一定时，,时刻的波形方程,振动曲线,（3）当 ， 都变，方程表示不同时刻的波形， 即波形的传播。,4. 质点振动速度和加速度, 媒质中任意质点的振动速度, 媒质中任意质点的振动加速度, 媒质中任意质点的振动速度方向的判断,沿波的传播速度方向看： 波峰 波谷(下坡) 质点运动速度 波谷 波峰(上坡) 质点运动速度,波动,振动,一个质点（物体）,无数质点,该质点相对 其平衡位置 的位移。,任意质点的平衡位置的坐标。,任意质点相对自己的平衡位置的位移。,思考：振动方程与波动方程的区别？,思考：,振动曲线与波形曲线（波形图）的区别？,横轴为质点平 衡位置坐标,横轴为时间 坐标,振动曲线,波形曲线（波形图）,质点在各个不同时刻的位移,在某一时刻各个不同质点的位移,质点速度方向：,曲线上行为正，下行为负,任一位置处质点速度方向：,沿波的传播速度方向看： 波峰 波谷 质点运动速度为正 波谷 波峰 质点运动速度为负,例1（3077）一平面简