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文档简介

1、第六节 方向导数与梯度,一、方向导数的定义,二、梯度的概念,一、方向导数的定义,t 表示点 P 到点 Q 的有向距离,当 Q 沿着 l 趋于 P 时,是否存在？,1、方向导数的定义,函数 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向 、y 轴正向 的方向导数分别为：fx , fy .,沿着 x 轴、y 轴负向的方向导数分别是：fx , fy .,说明: 函数在一点可偏导, 未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在.,2、方向导数的计算,函数可微是方向导数存在的充分不必要条件.,证明,由于函数可微, 则全增量可表示为：,解,所求方向导数,3、推广可得三元函数方向导数的定义,若u=f(x

2、,y,z) 在P0(x0,y0,z0)可微时,则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在.,二、梯度的概念 1、定义,定点 P 处有无穷多个方向, 函数 f ( x , y )在该点沿哪个方向的方向导数最大? 最大值为多少?,定义 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)可微, 称向量,为函数z=f(x,y)在点P0(x0, y0) 处的梯度(gradient) ,记为 grad f (x0,y0)或 f (x0,y0).,方向：f (x,y) 变化率最大的方向,模: f (x,y) 的最大变化率之值,2、方向导数与梯度的关系,1) 函数在某点沿梯度方向的方向导数最大且最大值为梯度的模:,2)

3、 z=f ( x , y )在点( x , y )处沿 f ( x , y )方向的方向导数最小,为 |f |；沿垂直于梯度f ( x , y )方向的方向导数等于零.,3) z=f (x, y)在点 P0 沿方向 的方向导数等于梯度在方向 上的投影.,3、梯度的概念可以推广到三元函数,若三元函数u=f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)可微, 则,类似于二元函数, 此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.,解,解,解,4、梯度应用实例,例5 设某金属板上电压分布为 V=50 2x2 4y2, (1) 在点(1, 2) 处,沿哪个方向电压升高最快? (2) 沿哪个方向电压下降最快? (3) 上升或下降的最大数率是多少? (4) 沿哪个方向电压变化得最慢?,*5. 梯度的基本运算公式,(Page98 ex7),三、物理意义,函数,数量场 (数量值函数),场,向量场(向量值函数),可微函数 f ( P ),梯度场 grad f ( P ),( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,

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