函数极值的概念

1、,函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,2.3.1 函数极值的概念,设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点,如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) f ( x0 )， 则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；,如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) 0,f (x)0,2.3.2 函数极值的求法,(1

2、) 确定函数的定义域；,求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：,(2) 求出导数f(x)；,(3) 令f (x)=0，求出 f (x)的全部驻点；,用驻点把定义域划分为部分区间， 考察每个部分区间内 f (x) 的符号， 以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。,例,求,(4) 列表讨论，如下：,x,f (x),f (x),(,2),+,2,0,(2 , 3),单调减少,3,0,(3 , + ),单调增加,函数在 x = 2处取得极小值62 在 x = 3处取得极大值16.5,的单调区间和极值.,解：(1) f (x) 的定义域为(,)；,(2) f(x) =

3、3x + 3x + 18,(3) 令 f (x) = 0得驻点 x1 =2, x2 =3,单调减少,极小值62,极大值16.5,2.3.3 函数最值的求法,问：最大值与最小值可能在何处取得？,怎样求最大值与最小值？,观察极值与最值的关系：,如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。,函数的最值一般分为两种情况：,（1）,如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一 个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大 (小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值。,函数的最值一

4、般分为两种情况：,（2）,求函数在区间内的最值的步骤,求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值；,(2) 求出区间端点处的函数值；,比较以上各函数值，其中最大的就是函数 的最大值，最小的就是函数的最小值。,求函数 y = x + 3 x9x在上4 , 4 的最大值和最小值。,解 (1) 由 f (x)=3x +6x9,(2) 区间端点4 , 4 处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76,(3) 比较以上各函数值，,例,得驻点为 x1=3，x2=1,驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4,可知函数在4 , 4 上的 最大值为 f (4

5、) =76，最小值为 f (3)=27,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。,答 案,最大值 f (/2)=/2，最小值 f (/2)= /2,最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (5)= 5+,最大值 f (1)=29，最小值 f (3)= 61,练 习,2.3.4 函数最值应用举例,在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间 ( a , b )内只有一个驻点 x0 ，而且从实际问题 本身又可以知道函数在 ( a , b ) 内必有最大值 或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最 小值.,把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各 截去面积相等的正方形，然后将四边折

6、起，做成 方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作 的方盒容积最大？,题例,解 设截去的小正方形 的边长为x cm,方盒容积为V cm,把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各 截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成 方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作 的方盒容积最大？,题例,方盒容积为V cm,则 V = x(482x) , ( 0 x 24 ),解 设截去的小正方形 的边长为x cm,把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各 截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成 方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作 的方盒容积最大？,题例,解 设截去的小正方形的边长为x cm , 方盒容积为V cm,则 V = x(482x) , ( 0 x 24 ),求导数得