费米面【优选内容】

1、上次课内容：,一、紧束缚方法 晶体中原子间距较大，每个原子的势场对电子有较强的束缚作用，这样，每个原子附近电子的行为都同孤立原子中电子的行为相似，因此，可以以孤立原子的状态作为零级近似，其它原子所产生的势场作为微扰，这种近似方法称为紧束缚近似法。,只考虑最近邻的作用时的E(k)为,1,行业借鉴#,原子能级与能带的对应,1、越低的能带越窄，越高的能带越宽。,2、内层电子，能带宽度较小，能级与能带之间一一对应；外层电子，能带较宽能级与能带之间的对应比较复杂。,3、复式格子，原胞中的各原子之间先形成分子轨道，再以分子轨道为基组成布洛赫和，而认为能带与分子轨道之间有相互对应关系。,2,行业借鉴#,瓦尼

2、尔函数 1、定义： 在紧束缚近似中，能带电子的波函数可以写成原子波函数的布洛赫和 对于任何能带，布洛赫函数都可以写成类似的形式 其中Wn(r-Rn) 称为瓦尼尔函数（Wannier function) 。,3,行业借鉴#,2、瓦尼尔函数的性质 （1）局域性质（定域性） 由于 u(k，r)=u(k，r-Rn) ，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 为中心的定域函数。 （ 2）瓦尼尔函数之间是完全正交的。,4,行业借鉴#,二、晶体能带的对称性,En(k)=En(k) En(k)=En(-k) En(k)=En(kGn),5,行业借鉴#,67 能态密度和费米面 （energy state densi

3、ty and Fermi surface）,一、能态密度函数 （function of energy state density）,二、费米面（Fermi surface）,本节思路：用定义模式密度的方法引入能态密度，具体给出几个模型的能态密度；在此基础上给出费米面的定义以及费米能、费米动量、费米速度等概念。,6,行业借鉴#,6-7 能态密度和费密面,一、 能态密度函数 1、能态密度函数的定义, 固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带, 能量在E E+E之间 能态数目Z,能态密度函数,7,行业借鉴#,在k空间，根据E(k)=Constant构成的面为等能面,由E和E+E围成的体积为V，状

4、态在k空间是均匀分布的, 动量标度下的能态密度,EE+E之间的能态数目,两个等能面间垂直距离,状态密度,8,行业借鉴#,能态密度,考虑到电子的自旋，能态密度,9,行业借鉴#,1) 自由电子的能态密度,电子的能量,2、几种具体模型中的能态密度,10,行业借鉴#,在球面上,能态密度,11,行业借鉴#,2) 近自由电子的能态密度,晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近,等能面的变化, 二维正方格子,第一布里渊区的等能面,12,行业借鉴#,第一布里渊区的等能面, 接近布里渊区的A点，能量受到周期性势场的微扰 能量下降，等能面向边界凸现, 在A点到C点之间 等能面不再是完整的闭合面 分割在各个顶

5、点附近的曲面,13,行业借鉴#,能态密度的变化, k接近A点，等能面向边界凸现 两个等能面间的体积不断增大, 能态密度增大, 在A点到C点之间，等能面发生残缺 达到C点时等能面缩成一个点, 能态密度减小为零,14,行业借鉴#,第二布里渊区能态密度, 能量E越过第一布里渊区边界A点 从B点开始能态密度由零迅速增大,能带不重叠,15,行业借鉴#,第二布里渊区能态密度, 能量E越过第一布里渊区边界A点 从B点开始能态密度由零迅速增大,能带重叠,16,行业借鉴#,3) 紧束缚模型的电子能态密度, 简单立方格子的s带, 等能面为球面, k=0附近, 随着E的增大，等能面与近自由电子的情况类似,17,行业

6、借鉴#,能态密度,18,行业借鉴#,出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交,X点,19,行业借鉴#,出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交,20,行业借鉴#,的等能面,的等能面,21,行业借鉴#,3、范霍夫奇点（van Hove singularity）,在 En(k) 对 k 的梯度为零的地方，N(E) 应显示出某种特异性。,称 的点为范霍夫奇点，或临界点。如极大值、极小值、以及鞍点等。这些点都出现在布里渊区的高对称点上。比如简立方晶格，紧束缚近似下的 s 带。,是极小，,是极大,22,行业借鉴#,二、费米面（Fermi surface）,1、费米面： 费米面是指绝对零度时， k 空

7、间电子占据态与未占据态之间的分界面. 电子填充量子态的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能量尽可能低的N（电子数）个量子态。,Kittel: The Fermi surface is the surface of constant energy in k space. The Fermi surface separates the unfilled orbitals from the filled orbitals, at absolute zero.,若把电子看成自由电子, 电子填充k空间半径为kF的球, 球内的状态数,23,行业借鉴#, 球内的状态数,球的半径,电子密度,24,行业借鉴#,

8、 费米波矢 费米动量 费米速度 费米温度,费米能量,费米球半径,费米动量,费米速度,费米温度,25,行业借鉴#, 自由电子球半径, 电子密度, 费米半径, 费米速度,26,行业借鉴#, 费米半径, 费米能量,27,行业借鉴#,2、电子填充能带的形式 电子填充能带的形式有两种类型： (1）电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带都是空的。最高的满带称为价带(valence band)，最低的空带成为导带(conduction band)，价带最高能级与导带最低能级之间的范围则为带隙(band gap)。,(2）除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，部分被电子填充的能带

9、被称为导带(conduction band). 这时，电子所占据的最高能级即为费米能级，它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中，k 空间都有一个占有电子与不占有电子的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。,这种情况对应于绝缘体和半导体。带隙宽的（比如约10eV）为绝缘体，带隙窄（比如约1eV）的为半导体。,28,行业借鉴#, 晶体中的电子,满带 电子占据了一个能带中所有的状态,空带 没有任何电子占据(填充)的能带,导带 一个能带中所有的状态没有被电子占满 即不满带，或说最下面的一个空带,价带 导带以下的第一个满带,禁带 两个能带之间不允许存在的能级宽度,29,行业借鉴#, 周期

10、性势场的影响使得电子的能级 形成一系列的准连续的能带 N个电子填充这些能带中最低的N个状态,半导体和绝缘体, 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带 导带中没有电子 半导体带隙宽度较小 1 eV, 绝缘体带隙宽度较宽 10 eV,30,行业借鉴#,金属, 电子除了填满一系列的能带形成满带 还有部分电子填充其它能带形成导带, 电子填充的最高能级为费密能级 位于一个或几个能带范围内, 在不同能带中 形成一个占有电子与不占有电子区域的分界面 面的集合称为费密面,31,行业借鉴#,金属_半导体_绝缘体的能带,32,行业借鉴#,碱金属 体心立方格子，一个原胞有1个原子,n2的能级, 原子的量子态数为8，

11、电子填充数为8个, 晶体中相应的能带2s_1个、2p_3个，共4个能带, N个原子构成的晶体 各满层电子能级相应分成2N个量子态的能带 内层电子刚好填满了相应的能带, 每个能带所容许的量子态2N _ 8N个量子态 可以填充8N个电子,33,行业借鉴#,碱金属 体心立方格子，一个原胞有1个原子, ns态所对应的能带可以填充2N电子, N个电子只填充了半个布里渊区 费密球与布里渊区边界不相交 费米面接近球面, N个自由电子，只填充了半个能带而形成导带,34,行业借鉴#,二价碱土金属 最外层2个s态电子, 2N个电子刚好填充满和s相应的能带, ns态所对应的能带可以填充2N电子, 与s对应的能带和上

12、面的能带发生重叠 2N个电子尚未填充满s态能带，开始填充上面的能带 两个能带都是部分填充,二价碱土金属 是绝缘体！,35,行业借鉴#, 第一布里渊区尚未填满, 碱土金属为金属导体,二价碱土金属 最外层2个s态电子, 费米面由两部分构成, 第二布里渊区已填充电子,36,行业借鉴#,金刚石结构的IVB族元素 C、Si和Ge电子的填充, IVB原子外层有4个电子 形成晶体后成键态对应4个能带在下面 反键态对应4个能带在上面, 每个能带 可容纳2N个电子 成键态的4个能带刚 好可以容纳 8N 电子,37,行业借鉴#,每个原胞有两个原子 共8个电子, Si和Ge为半导体, 成键态的4个能带刚好可以容纳8

13、N电子, 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成满带, 反键态则是空带 金刚石为绝缘体,38,行业借鉴#,能态密度的实验结果, X射线将原子内层电子激发 产生空的内层能级 导带中的电子跃迁填充内层能级时发射X射线光子,39,行业借鉴#, X射线将Na原子的内层电子激发后 产生了诸如1s, 2s和2p等空的内层能级, K : 电子到1s能级的跃迁 LI : 电子到2s能级的跃迁 LII : 电子到2p能级的跃迁 LIII: 电子到3s能级的跃迁,40,行业借鉴#, 导带中电子能量从带底能量到最高能量E0 各种能量的电子均可发生跃迁产生不同能量的X光子 发射出X光子能量形成一个连续能量谱,X

14、光子发射强度决定于,（能态密度）（发射几率）, 根据不同固体的X光子 发射谱可以获知能态密 度的信息,41,行业借鉴#, 在低能量区域, X光子发射能量逐渐上升的, 电子的能量从带底逐渐增大，能态密度逐渐增大, 在高能量的一端， X光子发射谱陡然下降, 导带未填充满，最高能量的电子对应的能态密度最大,金属钠,42,行业借鉴#, 在低能量区域, X光子发射能量逐渐上升的, 电子的能量从带底逐渐增大，能态密度逐渐增大, 在高能量的一端， X光子发射谱逐渐下降, 满带填充，带顶布里渊区附近，能态密度逐渐降为零,金刚石,43,行业借鉴#,金属Na、Mg、Al和非金属金刚石、硅的实验结果,44,行业借鉴

15、#,3、费米面的构造(formation of Fermi surface),以正方格子为例，以自由电子模型说明绝对零度时的费米面的构造法。,费米面是能量为 EF 的等能面。 对于自由电子，费米面是球面。 当考虑了电子与晶格的相互作用后，即在周期场中运动的电子，其能带不再具有简单的自由电子的形式。特别是等能面在靠近布里渊区边界附近将偏离球星对称形状，因而费米面也发生相应的畸变。当电子浓度 n 较小时，费米面为球面；当电子浓度 n 增大时，“费米球体积”增大，费米面向外扩展并发生畸变，接近布里渊区边界时费米面畸变最厉害。,45,行业借鉴#,正方格子的周期为 a ，倒格子的周期是2/a ，简约布氏

16、区的面积是42a2。,在简约布氏区中有 2N 个状态，N 是晶体的原胞数，所以，k 空间单位面积中的状态数是,是简约布里渊区的面积,晶体电子的总数是N ：,46,行业借鉴#,费米波矢(Fermi wave vector)的大小,费米能量(Fermi energy),47,行业借鉴#,上表中列出了1到6的费米波矢和费米能量的值，其中费米波矢以a 为单位；,费米能量以 为单位。,48,行业借鉴#,在广延布里渊区中画出费米圆周，圆周的半径为 kF ，在费米圆以内的区域是电子占有的态，费米圆以外是未占有的态。在第二、第三布里渊区中的片段分别用平移相当的倒格矢搬到第一布区种中。,49,行业借鉴#,50,

17、行业借鉴#,从图中可以看出，当原胞中有一个电子时，整个费米面在第一布里渊区中，所有占有态都在第一能带。第一能带也有没被占有的状态。当一个原胞中有二个或者三个电子时，第一、第二能带都有电子，但都没有全满。当原胞中的电子多于四个时，第一带是满的，其余带未填满。 考虑到弱周期场的影响，等能面与布里渊区边界必定垂直向割，费米面的形状有所不同。,51,行业借鉴#,52,行业借鉴#,构造费米面的具体步骤如下： （1）利用En(k)是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。 （2）用自由电子模型画出费米球。 （3）落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位。 （4）由自由电子模型过渡到准自由电

18、子模型必须注意能带边有禁带出现。费米面同布里渊区边界垂直相割，自由电子的费米面尖角处要钝化。,53,行业借鉴#,Summary Function of energy state density definition of energy state density some examples of energy state density free electron nearly free electron approximation tight-binding approximation Van Hove singularity Fermi surface,54,行业借鉴#,68 表面电子态, 从理想表面模型出发 研究晶体表面对电子能量本征态的影响,假设晶体表面位于 z = 0 处，有, 电子在晶体内部的能量 E 0 电子波函数,z 0 区域 采用近自由电子近似,电子的能量本征值,电子零级波函数, 能量发生中断,56,行业借鉴#, 第一布里渊区边界附近,电子的波函数,57,行业借鉴#,应用,58,行业借鉴#,分别以 或 从左边乘上方程，对 z 积分,利用,得到方程,59,行业借鉴#, a, b有非零解系数行列式,电子能量,60,行业借鉴#, 电子在第一布里渊区边界附近的波函数,61,行业借鉴