半导体物理之能带理论

1、固体量子理论初步,OVT S.M.,引子,单电子原子满足,由质子和电子之间库仑力形成的势函数为： V(r)=-e2/40r （E为电子电量，0为真空介电常数。 利用球坐标和分离变量法，得到E的解：,量子数：n=1,2,3, l=n-1,n-2,n-3,0 m=l,l-1,0 波动方程的解可以用(n,l,m)的形式表示。对于氢原子中的电子，n=1,l=0,m=0 可解出波函数，(1,0,0). 径向概率密度函数，是指电子出现在离核某个距离的概率，与(1,0,0)*(1,0,0)以及核外球型能量壳层的微分成比例。如图：,2020/6/29,其中,最大概率出现在半径r=a0处,径向概率密度函数图,2

2、.1 固体量子理论基本原理,能带理论 固体中电的传导 三维扩展 状态密度函数 统计力学,2.1.1 允带与禁带,电子共有化运动 能带的形成 克龙尼克-潘纳模型 单电子近似 K空间能带图,2020/6/29,电子共有化运动,原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层。 不同壳层的电子分别用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s等符号表示，每一壳层对应于确定的能量。 当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层交叠最多，内壳层交叠较少。 原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以

3、由一个原于转移到相邻的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运动称为电子的共有化运动。,2020/6/29,电子共有化运动,注意：各原子中相似壳层上的电子才有（近似）相同的能量，电子只能在相似壳 层间转移。 共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层的交叠。,2020/6/29,能带的形成,原子靠近电子云发生重叠电子之间存在相互作用分立的能级发生分裂。 满足泡利不相容原理。,原来相同的电子能级发生分裂，变成一系列离散的能级，这些离散的能级形成能带，其中的r0代表平衡状态下晶体中的原子间距。,2020/6/29,能带的形成,晶体中的原子体密度在1022cm-3的量级。那么1mm3内就有1

4、019个原子。简化假设为单电子原子，则其中有1019个电子分布在同一个能带上，假定该能带的宽度为1eV，则能带中分立能级的平均宽度就为110-19eV。,a.单壳层原子 b.三壳层原子,当随着原子距离的缩减，最外层电子首先相互作用导致n=3的能级分裂。进一步缩减距离导致次外层和内层原子也分裂成能带。,2020/6/29,能带的形成,s能级(l=0,ml=0,ms=1/2)，2度简并，交叠后分裂为2N个能级； p 能级（l=1, ml=0, 1，ms=1/2 ）6度简并，交叠后分裂为6N个能级; d 能级（l=2, ml=0, 1, 2, ms=1/2 ），交叠后分裂为10N个能级,2020/6

5、/29,能带的形成,Si原子能带的形成 图为Si原子电子系统示意图。对于n=3的外层价电子来说，其中两个分布在能量较低的s轨道上，而可容纳6个电子的p轨道上有两个电子。,2020/6/29,能带的形成,Si原子能带的形成,2020/6/29,能带的形成,Si原子能带的形成 每个Si原子最外层有2个S能级和6个p能级，N个Si原子构成单晶体后，每个能级都分裂成N个能级，因而总共有8N个能级。但由于形成晶体时，SP3杂化使得在平衡状态时，3s和3p态相互作用并交叠，最终每个原子具有4个成键态（能量低）和4个反键态（能量高）；每个原子核外的4个电子都填充其中的4个低能状态，因而低能带被填满（价带），

6、高能带被空置（导带）。,2020/6/29,单电子近似,晶体中电子的运动与 自由电子、孤立原子的电子的运动不同： 自由电子： 在恒定为零的势场中运动 孤立原子中的电子： 在该原子的核和其它电子的势场中运动 晶体中的电子： 在严格周期性重复排列的原子间运动 单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。,2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,目的：利用量子力学原理和薛定谔波动方程将允带和禁带的概念更为严密地表达出来。,2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,最终交叠成如下势函数,解

7、一维单晶晶格的薛定谔波动方程的解,2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,在这里，我们利用一个简单的势函数，这样，一维单晶晶格的薛定谔波动方程的解就会变得更容易处理。 下图显示了周期性势函数的一维克龙尼克-潘纳模型，用它来代表一维单晶的晶格。 着重关注的是EV0的情况，此时粒子被束缚在晶体中。,2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,布洛赫数学定理指出所有周期性变化的势能函数的单电子波函数必须写为：,k为运动常量,u(x) 为以(a+b)为周期的函数,波动方程的全解是由与时间无关和与时间有关的两部分解组成的，即,这种行波解代表电子在单晶材料中运动。行波的振幅是一个周期函数，参数k代表波数。,2

8、020/6/29,在0xa的区域内，V(x)=0,克龙尼克-潘纳模型,将,代入 ，V(x)=0,得,2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,将,代入 ，V(x)=0,得,定义,在-bxV0，为实数，如果EV0，则为虚数。,2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,在0xa的区域内，解可以写为： 在-bx0的区域内，解可以写为： V(x)在任意位置都是有限的，因此波函数 和它的一阶导数必须连续。 u1(0)=u2(0) u1(a)=u2(-b),2020/6/29,克龙尼克-潘纳模型,解出系数A,B,C,D，得到方程的解 因为关注的是EV0的情况，则为虚数，令=j ， 是一个实数量。 这样，k与总

9、能量E(通过参数)和势函数V0(通过参数)联系起来。 通过数值法或图形法得到k,E,V0之间的关系。解得：,其中,得到薛定谔方程有一个解得条件,2020/6/29,K空间能带图,自由电子的运动状态 对于波矢为k的运动状态，自由电子的能量E，动量p，速度v均有确定的数值。,2020/6/29,K空间能带图,波矢k可用以描述自由电子的运动状态，不同的k值标志自由电子的不同状态 自由电子的E和k的关系曲线，呈抛物线形状。 由于波矢k的连续变化，自由电子的能量是连续能谱，从零到无限大的所有能 量值都是允许的。,2020/6/29,K空间能带图,令,近自由电子近似将电子看成是位于势阱中的近自由电子，而把

10、周期性势场作为微扰，这样对于一维情况得到克龙尼克方程：,2020/6/29,K空间能带图,很据上一页的图得到粒子能量E对应波数k的函数图形： 在 处，由于简并微扰，能带分裂，形成一系列的禁带、允带，又由于周期性边界条件玻恩一卡尔曼条件，k只能取一些不连续的点（k取值数与原子总数N有关），这样晶体中的电子只能处在允带中的一系列能级上。,2020/6/29,K空间能带图,E-k关系图,2020/6/29,K空间能带图,E-k/2 关系图,2020/6/29,K空间能带图,（1）当k=2n/a （n= 1/2，2/2)时，能量不连续，形成一系列相间的允带和禁带。允带的k值位于下列几个称为布里渊区的区

11、域中 第一布里渊区 /ak/a 第二布里渊区 2/ak-/a，/ak/a 第三布里渊区 3/ak- 2/a ，2/ak3/a 第一布里渊区称为简约布里渊区，相应的波矢称为简约波矢. （2）E(k)=E(k+2n/a)，即E(k)是k的周期性函数，周期为2/a。因此在考虑能带结构时只需考虑/ak/a的第一布里渊区就可以了。 推广到二维和三维情况： 二维晶体的第一布里渊区 /a (kx,ky)/a 三维晶体的第一布里渊区 /a (kx,ky,kz)/a （3）禁带出现在 k=2n/a处，也就是在布里渊区的边界上。 （4）每一个布里渊区对应一个能带。,Thanks！,2020/6/29,杂化 同一个原子（例如C原子）的能量相近的各个原子轨道平均混合成一组新的原子轨道的过程。杂化后的一组新轨道（仍是原子轨道），叫做“杂化轨道”。 杂化的原因 降低体系能量使之更加稳定。 能量相近的几个轨道结合在一起形成一种新的轨道以增强成键能力,使之更稳定。 sp3杂化 一个s轨道和三个p轨道杂化成四个sp3杂化轨道. 以甲烷为例：基态C原子中