天津大学 现代控制理论 第1章 控制系统的状态空间表达式

1、第一章，控制系统的状态空间表达，现代控制理论，主讲人：窦立谦，本章结构1.1控制系统的状态空间表达1.1状态变量和状态空间表达1.2状态空间表达的仿真结构图1.3状态空间表达的建立(1) 1.4状态空间表达的建立(2) 1.5状态变量的线性变换1.6状态空间表达的传递函数的计算1.7离散时间系统的状态空间表达1.8时变系统的状态空间表达系统和非线性系统的介绍。1.1状态变量和状态空间表达式，1状态，描述一个系统的过去、现在和将来的条件，2状态变量，一组变量的最小数量足以表征系统的运动状态是状态变量，注1.1-1:由N阶微分方程描述的系统有N个独立变量。当获得这N个独立变量的时间响应时，例如，微

2、分方程：注释1.1-2:状态变量的数量等于系统的独立能量存储元件的数量。1.1状态变量和状态空间表达式，3个状态向量，如果n个状态变量由表示，并且这些状态被视为的组成部分，它们被称为状态向量：4个状态空间，并且以状态变量为坐标轴的n维空间被称为状态空间。随着时间的推移，轨迹将在状态空间中描述，这被称为状态轨迹。1.1状态变量和状态空间表达式，5个状态方程，描述系统状态和输入之间关系的一阶微分方程，6个输出方程，描述系统输出和状态和输入之间关系的表达式，7个状态空间表达式，状态方程输出方程，构成系统的完整动态描述。1.1状态变量和状态空间表达式，例1.1-1求出R-L-C电路的状态空间表达式，输

3、出是电容器两端的电压，图1.1-1 R-L-C电路，1选择状态变量，例1.1求解，状态变量的个数：独立储能元件的个数。选择电容器c两端电压和流经电感器l的电流。嘿。1.1状态变量和状态空间表达式，2列写一阶微分方程，例1.1-1解，3列写状态方程和输出方程，(1)状态方程，1.1状态变量和状态空间表达式，示例1.1-1解决方案，3列写状态方程和输出方程，(。1.1状态变量和状态空间表达式，状态空间表达式的一般形式，状态矩阵，输入矩阵，直接转移矩阵，输出向量，输出矩阵，状态向量，输入向量，1.1状态变量和状态空间表达式，状态空间表达式的一般形式，(1) SISO，(2)多输入多输出，1 9状态空

4、间表达系统框图、注1.1-3:从状态空间表达和系统框图可以看出，状态空间方法不仅刻画了系统输入和内部状态之间的因果关系，而且反映了内部状态对外部输出的影响。因此，状态空间表达式是系统的完整描述。嘿。本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量和状态空间表达式1.2状态空间表达式的仿真结构图1.3状态空间表达式的建立(1) 1.4状态空间表达式的建立(2) 1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式计算传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8系统和非线性系统的时变系统状态空间表达式，引言，1.2仿真结构图，状态空间表达式，1函数，仿真结构图用来反映系统状态变量之间的信息传递关

5、系。，2三个基本框图，1.2状态空间表达式的模拟结构图，例1.2-1让一阶系统状态方程为其状态图，例1.2-2让三阶系统状态空间表达式为， 本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量和状态空间表达式1.2状态空间表达式的仿真结构图1.3状态空间表达式的建立(1) 1.4状态空间表达式的建立(2) 1.5状态变量的线性变换1.6状态空间表达式的传递函数的计算1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统的状态空间表达式系统和非线性系统的介绍。1.3建立状态空间表达式(1)，1从系统框图建立状态空间表达式，用状态空间方法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有三种方法：(

6、1)从系统框图建立，(2)从机构特性建立，(3)从高阶微分方程和传递函数建立，例1.3-1系统框图如下，输入为u，输出为y， 试着找到它的状态空间表达式，1.3建立状态空间表达式(I)，例1.3-1系统框图如下，输入为u，输出为y，试着找到它的状态空间表达式，例1.3-1求解，求解步骤：1选择状态变量，2列写状态方程，3列写输出方程，4写状态空间表达式。 1.3建立状态空间表达式(一)。示例1.3-1系统框图如下。输入是U，输出是Y，试着找到它的状态空间表达式，1选择状态变量，在每个块之后，除了比例链接。2列写状态方程，3列写输出方程，4列写状态空间形式，x3，x2，x1，1.3建立状态空间表

7、达式(I)，例1.3-2系统框图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式，例1.3-3系统框图如下，输入为u，输出为y，试1.3建立状态空间表达式(I)，例1.3-3系统框图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式，z-p，1.3建立状态空间表达式(I)，2从机构特性建立状态空间表达式，一般控制系统按其能量性质可分为电气、机械、机电和机电。根据其物理定律，如基尔霍夫定律、牛顿定律和能量守恒定律，可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。弹簧-质量-阻尼器系统，电路系统，1.3状态空间表达式(1)的建立，示例1.3-4对于图1.3-4所示的电路，尝试使用电压

8、U作为输出，电容C上的电压uc作为输出变量，并列出其状态空间表达式。图1.3-4电路系统，示例1.3-4 考虑到i1、i2和uc是独立的，它们可以被确定为系统的状态变量。1.3建立状态空间表达式列(1)，列(1)，列(2)写状态方程，列(2)根据基尔霍夫定律写电路方程，现在让x1=i1，x2=i2，x3=uc，以矩阵形式写上述方程，即状态方程，列(1)，列(3)写输出方程。因此，系统的输出方程为，4，组织成状态空间表达式，1.3建立状态空间表达式(一)，例1.3-5，如图1.3-5所示，输入为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m。试建立机械位移系统的状态空间表达式，例1.3-5解图1

9、.3-5弹簧-质量-阻尼器系统。1.3建立状态空间表达式(I)，2列写状态方程，根据牛顿运动学定律列写运动方程，现在，让x1=y，x2=，以矩阵形式写上述方程，即状态方程，3列写输出方程，4列整理成状态空间表达式，本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量和状态空间表达式1.2状态空间表达式的仿真结构图1.3状态空间表达式的建立(1) 1.4状态空间表达式的建立(2) 1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式计算传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统的状态空间表达式系统和非线性系统，简介， 1.4建立状态空间表达式(2)，在经典控制理论中，系统模型用微分方程或

10、传递函数来表示，它代表了系统的输入和输出之间的关系。 本节将解释如何从微分方程或传递函数得到系统的状态空间表达式，这个问题称为控制中的实现问题。(1)可控范式，(2)可观测范式，(3)对角范式，(4)乔丹范式。1.4建立状态空间表达式，(2)，1可控规范形，考虑到系统由下列公式定义(单变量线性常数)，(1) m=0，系统的传递函数是：1可控规范形，(1) m=0，系统仿真结构图是：系统状态方程是：输出方程是：1.4建立状态空间表达式，(2)，1可控规范形，(1) m=0，系统状态空间表达式是：1.4建立状态空间表达式。例1.4-1系统的输入输出微分方程如下：状态方程和输出方程，例1.4-1解，

11、1直接列为可控标准型。1.4建立状态空间表达式(2)，1可控标准型，(2) m0，系统的传递函数为：假设实现1可控标准型，(2) m0，1.4建立状态空间表达式(2)，1可控标准型，(2) m 0，1.4建立状态空间表达式(2)，1可控标准型，(2) m 1.4建立状态空间表达式(2)， 例1.4-2系统的输入输出微分方程如下：列出其状态方程和输出方程，例1.4-2解，1按可控标准类型直接写，1.4建立状态空间表达式(2)，3对角标准型，当系统传递时，建立状态空间表达式(2)，3对角标准型，状态变量的拉普拉斯变换是，1.4建立状态空间表达式(2)，4若当系统的传递函数表示如下：时，考虑分母多项

12、式包含多个根的情况。状态空间表达式(2)的建立、4若当标准型、1.4状态空间表达式(2)的建立、4若当标准型、让N阶系统只有一个独立的N极s1。然后用部分分式法展开G(s)，其中4个乔丹标准式、1.4状态空间表达式的建立(2)、例1.4-3系统的输入输出传递函数如下：写出其对角标准状态方程和输出方程。1.4建立状态空间表达式(2)，2列写对角线标准类型，例1.4-4系统的输入输出传递函数为：列出其可控的，可观测的，对角线标准状态方程和输出方程， 本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量和状态空间表达式1.2状态空间表达式的仿真结构图1.3状态空间表达式的建立(1) 1.4状态空间表

13、达式的建立(2) 1.5状态变量的线性变换1.6传递函数的计算从状态空间表达式1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统的状态空间表达式和非线性系统的引入，1.5状态变量的线性变换，线性变换的概念，如上所述，一个n阶系统必须具有然而，这N个状态变量的选择并不是唯一的。但它们之间存在线性转换关系。定义：状态X和Z的变换称为状态的线性变换，因为状态变量是状态空间中的一组基。因此，状态变换的本质是状态空间的基础(坐标)的变换。线性变换关系为：或，注意：t是非奇异矩阵。1.5状态变量的线性变换，1线性变换的概念，(2)基本关系：设一个n阶系统，其状态向量为x，其状态空间表达式为，现在取线性变换为

14、，其中：是一个非奇异的阶矩阵。代入上述表达式，我们得到状态变量的线性变换，例如1.5-1，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5。系统特征值和系统不变量的不变性，(1)系统特征值：对于线性时不变系统，系统特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特征。对于系统，系统的特征值是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程是：并且系统的特征多项式是：如果：1.5状态变量的线性变换，2系统的特征值和不变量的不变性，(2)系统的不变性和特征值的不变性虽然不同于形式，但实际上是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。状态变量的线性变换，系统的特征值和不变量的不变性，(3)特征值向量，示例1.5-2、1.5、1.5、1.5、1.5、1.5、1.5、1.5、1.5、1.5、对于系统：A特征值有多个根，1.5状态变量的线性变换，3状态空间表达式被转换成Jordan标准形，(1)特征值没有多个根，步骤1，找到A特征值，2，找到对应于特征值的特征向量，3，定义变换矩阵为：4，找到一个新的状态表达式，在例1.5-3中，下列被系统化为对角标准型，1.5状态变量的线性变换，3定义变换矩阵为： 1.5状态变量的线性变换、4寻找新的状态表达式、1.5状态变量的线