博弈论及其应用-混合策略纳什均衡

1、博弈论及其应用,完全信息静态博弈： 混合策略纳什均衡,混合策略纳什均衡,混合策略 混合策略纳什均衡,混合策略纳什均衡,混合策略 混合策略纳什均衡,混合策略,The cliffhanger,混合策略 期望效用 NE和最优反应 案例 混合策略博弈的性质,混合策略,混合策略：把不确定性引入纯战略，即参与者以一定的概率选择他的战略，比如网球比赛中，运动员以60的概率发正手球，40的概率发反手球。,混合策略,为什么采用“混合策略”？ 考虑下面的博弈：扑克牌对色游戏 两个人参与这个游戏，从自己的扑克牌中抽出一张，一起翻开，如果颜色一样，甲输给乙一根火柴；如果颜色不一样，甲赢得乙一根火柴。不允许出大小鬼。描

2、述这个博弈，寻找纳什均衡。,混合策略,红,红,黑,黑,-1，1,1，-1,-1，1,1，-1,乙,甲,混合策略,这个博弈“不存在”我们前面所讲的纳什均衡 在这个游戏中，重要的是猜测对方的出牌规律，同时避免对方猜到自己的出牌规律。也就是说，要尽量让对手迷失。这种随机化自己可选策略的做法，就是采取“混合策略”的思想。 局中人以一定的概率p选择红，以一定的概率1-p选择黑，则（p,1-p）概括了某个局中人所有的混合策略。可知这样的混合策略有无穷多个。两个局中人的策略组合有无穷多个,混合策略,红 p,红 q,黑 1-q,黑 1-p,-1，1,1，-1,-1，1,1，-1,乙,甲,混合策略,当参与人可以

3、选择的策略比较多时（3个，4个，），用一个字母就不够用了，需要用多个字母表示其混合策略 可以想象，混合策略情况下，参与人的支付不再是确定性的。需要用期望支付的概念,混合策略,混合策略,混合策略,举例 扑克牌对色游戏中，假设p0.5，q0.5，写出双方在这种情况下的期望支付,混合策略,举例：两人博弈的情况,混合策略,举例：两人博弈的情况,混合策略,举例：两人博弈的情况 类似的，可以写出参与人2的期望效用,混合战略,硬币博弈,a1,b1,a2,b2,1,-1,-1, 1,1, -1,-1, 1,p,(1-p),q,(1-q),各种战略组合及其概率,(a1,a2),(a1,b2),(b1,a2),(

4、b1,b2),pq,p(1-q),(1-p)(1-q),(1-p)q,期望效用,混合战略纳什均衡,纯战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 对于某个参与人来说，最优混合战略是指期望效用最大化的混合战略 对于前面的例子：二人博弈来说：,混合战略纳什均衡,混合战略纳什均衡,混合战略纳什均衡,由上述混合战略纳什均衡的定义，以及混合战略的定义，可以得到：,a1,b1,a2,b2,3,2,-1, 3,0, 0,-1, 1,社会福利博弈,q,(1-q),p,(1-p),期望效用,混合战略纳什均衡,政府,流浪汉,1,反应函数,0.5,0.2,BR1(q),BR2(p),不救济 混合策略 救济,q,p,找工作 混合策

5、略 不找工作,混合战略纳什均衡,反应对应,反应对应,混合战略纳什均衡,硬币博弈,a1,b1,a2,b2,1,-1,-1, 1,1, -1,-1, 1,p,(1-p),q,(1-q),期望效用,0.5,BR1(q),BR2(p),反应函数,混合战略纳什均衡,反应对应,反应对应,混合战略纳什均衡,报案（reporting a crime） n个人目睹一桩罪行，每个人都希望报警，但是都倾向于其他人打电话。特别的，假定能从报警中得到v单位的收益，而打电话的人需要付出c单位的成本，vc0。分析这个问题的纯战略NE和混合战略NE。,混合战略纳什均衡,分析： 参与人：n个 每个参与人的战略集：打电话，不打电

6、话 效用：没有任何人打，所有人0支付； 打，v-c； 不打，但其他人至少有一个人打，v 纯战略NE 当只有两个参与人的时候（公共产品提供的斗鸡博弈）两个NE n个人的时候：假设有m个人提供，m1 or m=1 n个NE,混合战略纳什均衡,混合战略NE 任何一个参与人i的期望效用函数： 假设i提供的概率为pi, 第i个参与人最大化自己的期望效用，得到,混合战略纳什均衡,由此， c/v1，因此，随着人数n的增加，p减小，即人越多，每个人选择报案的概率就会越小，如果n1，则p1 社会心理学与博弈分析,几乎所有有限博弈都有有限奇数个纳什均衡 对每个参与人来讲，在构成混合战略均衡纯战略之间是无差异的，即带来的支付是无差异的 因此，寻找混合战略纳什均衡的方法除了优化方法，还有等值法,混合战略纳什均衡,案例分析,有人要打网球吗？,小结,混合策略的定义，含义 期望效用 混合策略纳什均衡： 定义 求解 含义 案例,Homework,1. Find all “mixed” strategy NE to a Prisoners Dilemma. Comment on any connection with dominant strategies.,Homework,2. Find all mixe