原子物理学第三章量子力学初步教程

1、第三章 量子力学初步,内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述,3.1 微观粒子的波粒二象性,一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子,-光的波粒二象性,二、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：,-德布罗意关系式。,与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。

2、,德布罗意关系式还可以写成,式中， ：角频率； ：传播方向上的单位矢量,适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。,：波矢量,粒子的德布罗意波长：,1当 时，,2当 时，,经过电场加速的电子：,三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。,衍射，就是波绕过障碍物继续传播的现象。 衍射是波特有的现象，不需要特殊条件，但是，如果要发生明显的衍射，则需障碍物或小孔的尺寸比波长小或跟波长差不多。,干涉条纹是明暗间隔开的，且是等间距的。衍射条纹也是明暗相间但是不等间距，是中间亮然后周围越来越暗,干涉，两列频率相同的光波在空中相遇时

3、发生叠加，在某些区域总加强，在另外一些区域总减弱，出现明暗相间的条纹或者是彩色条纹的现象叫做光的干涉。只有两列光波的频率相同，位相差恒定，振动方向一致的相干光源，才能产生光的干涉。,1实验装置,2实验结果,(1)当U不变时，I与的关系如图 不同的，I不同；在有的上将出现极值。,(2)当不变时，I与U的关系如图 当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化,当 时加强-布拉格公式。,波程差：,实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意 公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、 中子、质子等都具有波动性。,可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子：,当U不变时，

4、改变，可使某一满足上式，出现极大值,当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大 值。,月球极区发现神秘反射光 揭未知“禁区”奥秘,据国外媒体报道，欧洲空间局的SMART-1探测器是一个对月球进行探索的飞船，在2006年时SMART-1探测器就成功撞击月球表面，撞击发生后科学家开始对月球表面扬起的尘埃进行探测，试图通过这些尘埃来揭开月球的起源之谜。但月球上仍然有许多地方被列为观测上的“禁区”，科学家将其称为未知的月球区域，特别是在月球的极区，我们对这里的情况了解甚少。根据SMART-1探测器的观测结果，科学家发现在月球极区存在三个非常紧密的撞击坑，内部存在一些神秘的反射光。,图中显示的就是三

5、个紧密排列的撞击坑，由欧洲空间局SMART-1探测器上的成像装置拍摄，这张拼图的大小为220公里乘以700公里，位于月球的北极附近，从右至左，这三个撞击坑被命名为Plaskett、Rozhdestvenskiy以及Hermite撞击坑。Hermite撞击坑直径大约104公里，Plaskett撞击坑大约为109公里，而Rozhdestvenskiy撞击坑直径最大，大约为177公里，这些地区被科学家称为神秘的月球区域，其明暗斑点使得这一地区保持着它的神秘感。,由于月球被地球的引力锁定，因此我们只能看到月球的一面，而另一面无法直接观测到，因此也有了月球背面是外星人基地的说法。事实上月球并不是只有一半

6、朝向地球，我们可以看到59%的月球表面，而Plaskett撞击坑的位置恰恰就位于月球朝向地球一面的边缘，因为我们在每年数个月的短短几天时间内可以看到Plaskett撞击坑的边缘，这个不寻常的一幕使得我们似乎看到来自月球撞击坑中的光线，因此欧洲空间局的SMART-1探测器任务之一就是对这些撞击坑进行调查，揭开月球上未知区域的奥秘。,3.2 测不准原理,一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出),电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过 狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：,x方向上，粒子坐标的不确定度为,又,粒子动量的不确定度为,狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在

7、缝 宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了 变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子 的坐标，又能避免动量发生变化。,如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量 就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有 确定的值。,1927年，海森堡首先推导出不确定关系：,二、不确定关系,三、讨论 1不确定关系只适用于微观粒子,2,例1： 设电子与 的子弹均沿x方向运动， ， 精确度为 ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。,电子： 子弹：,3.3 波函数及其物理意义,一、波函数,自由粒子 平面波,用符号 来表示波函数，自由粒子不受力，动量不变，所以同它联系的波长也不变，是单色波

8、，代表平面单色波的公式为,是角频， 是波的速度， 是时间， 是从原点到波面任何一点的距离， 是 和 的夹角，P86. 由欧拉公式， 上式可写为复数形式,用矢量k代表波长倒数的数值和波的前进方向，上式可写为,量子力学中，一般用下列形式,用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：,自由粒子的波函数，描写动量为 、能量为E 的自由粒子。,经典力学 位置和速度 量子力学 波函数 波函数体现了波粒二象性，其中的E和 是描写粒子性 的物理量，却处在一个描写波的函数中。,二、波函数的统计解释,电子衍射的强度分布图,用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。,从波的观点来看，极大值

9、处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。,玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。波函数代表发现粒子的几率,干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互作用产生的而是个别微观粒子属性的集体贡献,表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积 内发现粒子的几率。,即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现电 子的几率密度。如果 大，则电子出现几率大， 因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；反之， 如果 小，则电子出现几率小，电子出现的数目 也少，此处为衍射极小值处。,t时刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的体元 内发现粒子的几率：,表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子

10、 的几率密度。,1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一,2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率,3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验,讨 论,2归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：,三、波函数的标准条件及归一化,1波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。,对x、y、z分别求二次偏导：,3.4 薛定谔波动方程,一、薛定谔方程的建立,1自由粒子的薛定谔方程,对t求一次偏导：,自由粒子的薛定谔方程。,三者相加：,拉普拉斯算符：,自由粒子:,则有： 处

11、在以势能表征的力 场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程,2一般粒子的薛定谔方程,一般粒子常受到力场的约束，用 表示力场，则 粒子在力场中受到的力为： ，假设处于这种 力场中的微观粒子的波函数为 ，假设 仍满 足方程： 但此时,E为一常数,二、定态薛定谔方程 能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的 力场不随时间改变，即势能 中不显含时间t，将其代 入方程：,波函数分离变量：,解出：,定态波函数,1定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量,2定态中粒子的几率密度不随时间变化,3 定态薛定谔方程,如果 、是方程的解，那么它们的的线性组 合 也是方程的解， 为任 意常数。 即如果

12、、是体系可能的状态，那么它 们的的线性组合 也是体系一个可能的状态,4态迭加原理,3具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给 出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒,三、薛定谔方程的讨论,1薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势 场 中随时间变化 的规律。,2薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基 本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果 相一致来得到证明。,子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 。,5在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所,4薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数 形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、 在空

13、间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态 随时间变化的规律，是一种统计规律。,以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 的粒子，这是方程的局限性。,宇称 函数 ， 宇称是偶性的； 宇称是奇性的。,势垒,势阱,据德国明镜周刊报道，德国天文学家乌里尔奇.沃尔特(Ulrich Walter)日前对电影地心引力(Gravity)中讲述的太空细节进行讲解，并纠正了其中的错误。据悉，地心引力描述了两位宇航员在太空中漂泊生存的故事。 沃尔特称，宇航员在太空行走时非常危险。大的太空垃圾碎片可以避过，但数以百万计的小碎片难以预防。即使几毫米大的微粒都可能刺穿太空服，它们的速度是子弹的15倍。当太空服被刺穿后，

14、将导致压力消失，氧气泄漏，但是当今的太空服有紧急供应系统，可确保30分钟安全，足够宇航员返回空间站。 沃尔特说，空间站与船的结构很像，也有船舱和隔板。若发生紧急情况，中心部分可以与损坏部分分离。俄罗斯和平号空间站曾与无人货船相撞发生泄漏，但最后所有人成功逃生。原则上说，漂浮在太空中的宇航员可以获救，因为每套太空服都有喷气发动装置，但其行进距离只有1公里，因此在现实中，漂浮在太空中几乎就意味着死亡。,科学家揭秘太空行走:太空服可被几毫米微粒刺穿,当 时， 取任何值都能使R满足标准条件的 解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子 与H+离子结合为原子时释放的能量。,量子数 的物理意义,1主量子数

15、 与能量量子化,当 时， 能量是量子化的，自然得出。,2角量子数 和角动量角子化 角动量是量子化的，自然得出。 旧量子论： 当角动量很大时， ， ，二者一致， 所以玻尔理论给出了近似的结果。,3磁量子数 m 和空间量子化 个 角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 向量子化，自然得出。,用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度 的相 对大小，概率大的地方黑点浓密，概率小的地方黑点稀 疏，称它们为“电子云”,电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动规律 跟一般物体不同，它们没有确定的轨道。因此，我们不 能同时准确地测定电子在某一时刻所处的位置和运动的 速度，也不能描画出它的运动轨迹。因此，人们常用一,三、电子云,种能够表示电子在一定时间内在核外空间各处出现机会 的模型来描述电子在核外的运动。在这个模型里，某个 点附近的密度表示电子在该处出现机会的大小。密度大 的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机会多 ；密