拉普拉斯变换ppt课件

1、.,第六章 拉普拉斯变换,.,本章基本要求,理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换 掌握有理分式反演法 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理 理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法 求解微积分方程。,.,6.1 拉普拉斯变换的概念,.,一 Laplace 变换的定义,1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件 2）在（-，+）上满足 绝对可积的条件 3）在整个数轴上有定义,实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t0无意义。,.,2 拉普拉斯变换研究的对象函数,1）函数满足这样的条件: a) t 0

2、):,.,例4,同理,.,解：,从而,类推,.,6.2 基本函数的拉普拉斯变换,.,一 单位阶跃函数,二 (t)函数,.,三 函数tn（n-1)的拉氏变换,.,6.3 Laplace 变换的基本性质,.,Laplace 变换F(s) 的特性： （1） F(s) 在 Re(s)0 的半 平面代表一个解析函数。 （2）当 |Arg s| /2 - ( 0) 时：,且满足,0+i,0-i,s 平面,o,解析区域,.,一 线性定理：与 Fourier 变换一样。,例,.,注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际 应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。

3、,二 原函数导数定理:,.,原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除,三 原函数积分定理:,.,四 相似性定理 五 位移定理： 六 延迟定理：,.,七 卷积定理:,.,八 像函数微分性质,.,即： 像函数求积分，相当于原函数除 t 的像函数。,九 像函数积分定理,.,十 关于参数的运算,对于含参数的函数f(t,)的拉氏变换来说， 由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于的 运算顺序可以交换，所以,.,十一 初值定理,.,十二 终值定理,.,例1（P205例10.3.4）,.,例2（P206例10.3.5）,.,例3（补充例题）求解初始问题,.,例4（补充例题）求解初始问题,.,例5（补充题，利用

4、原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）,.,6.3 Laplace变换的反演,.,关于 t 的微分方程 关于 p的代数方程 关于 p的代数方程 原微分方程的解,Laplace 变换,Laplace 变换的反演,.,一 有理分式的反演,把有理分式分解,然后利用一些基本公式 和 Laplace 变换的性质求原函数。,一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分 式展开 4）利用拉氏变换表求解,注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。,.,例1 求 的原函数 （p208例10.4.1）,.,例2 求 的原函数

5、 （p208例10.4.2）,.,例3 求 的原函数,解,因此原函数为,.,通分后比较p的同次幂系数得：,.,二 查表法反演,例4：求 的原函数。,由表查得,解,又由延迟定理,.,例5 求 的原函数。 解：由表查得 由位移定理： 因此原函数为,.,例6 求 的原函数 （p210例10.4.5）,.,*三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式 在 L 右边，像函数解析，无奇点。 故作围道 (L+CR) 在 L 的左边。 设 在 L 的左边只有有限个 孤立奇点 pk，由留数定理 因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂),.,Fourier变换

6、与Laplace变换的比较,1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;,2 尽管 Laplace 逆变换是复变积分，因像 函数是一个解析函数，可以利用复变函数 理论的公式; 无现成的数值计算程序；每个 问题的极点分布不一样。,.,6.4 拉普拉斯变换应用举例,.,一 利用拉氏变换求积分,（1）如求 的积分，先求 的积分，然后令t=1。,例1（p215例10.5.2）,.,（2）若 ，则,例2（p216例10.5.3）,.,（3）若 ，则利用基本公式11 和初值定理，得到,例2（p216例10.5.4）,.,二 利用拉氏变换求解微分方程，积分方程,例1 （p217例10.5.6）解方程,.,例2 L-R串联电路有交流源 E=E0sint, 求电路中的电流。,解：电流方程：,两边作 Laplace 变换：,解得：,.,应用卷积定理,第一项：稳定振