第四章-故障树的定量分析ppt课件

1、.,1,第四章 故障树的定量分析,.,2,2,故障树分析步骤,.,3,4.1 顶事件概率表达式 4.2 顶事件发生概率的定量计算公式 4.3 结构函数的不交合 4.4 故障分析中的误差传播 4.5 底事件的重要度计算,.,4,定量分析的目的和基本内容,定量分析的目的：根据最小割集计算故障树顶事件的发生概率及其不确定性和底事件或割集的重要度。 故障树定量分析的基本内容归结为以下几方面： 底事件概率的定量分析，一般由收集到的部件失效数据，经过统计分析，求出单元的可靠性参数，如失效概率或无效度，可以是某种形式的分布。 顶事件概率的定量分析,一般根据故障树结构函数，由底事件概率计算出顶事件概率。定量计

2、算中的关键问题是最小割集的“不交化”。 为了确定顶事件概率的变化范围、误差限或分布，则须进行误差传播计算(不确定性)。 底事件的结构重要度和概率重要度的计算。这部分内容对于系统可靠性设计、诊断和优化等方面是不可缺少的。,.,5,4.1 顶事件概率表达式,.,6,假设: 诸底事件之间相互独立； 所有事件仅考虑正常和失效两种状态； 不考虑随时间的变化而近似作为稳态处理； 在某一很短的时间间隔内不考虑同时发生两个以上的单元失效,并且事件发生概率与时间增量成正比,忽略 以上的高阶小量等等。,.,7,故障树分析中的事件发生概率一般就是失效概率 。 若单元或系统是可修的，它就是无效度。 它们的概率分布律为

3、： qi和Q分别为底事件和顶事件的发生概率。,底事件发生概率：底事件Xi的数学期望EXi：,.,8,顶事件发生概率是诸底事件发生概率的函数：,由于假设诸底事件相互独立，所以有：,由此可证，顶事件发生概率是诸底事件发生概率的函数，即,.,9,相干故障数,1n个单元组成的并联系统,则顶事件发生概率Q并为：,2n个单元组成的串联系统,则顶事件发生概率Q串为：,.,10,3.由n个单元组成的串并联混合系统,对于任意结构的一棵故障树，一般可先找出它的全部最小割集,用最小割集计算顶事件概率，则：,结构函数：,.,11,4.2 故障树顶事件发生概率的定量计算公式,.,12,4.2.1精确计算,1无重复底事件

4、时顶事件概率的计算 当故障树中无重复底事件时，这就意味着诸最小割集相互之间不含有相同的底事件，所以诸最小割集是独立的，但是还可以是相交的。 精确计算故障树顶事件的发生概率时，要按布尔代数中逻辑并的概率公式（即容斥定理）展开。 设有个n独立的最小割集 ，用独立事件的概率公式计算，求得顶事件的发生概率为:,.,13,.,14,表达式,r=1 r=2 r=n,.,15,2有重复底事件时顶事件概率的计算,这就意味着诸最小割集间含有相同的底事件。这时它们相互不再是完全独立的，是相交的。精确计算中除了要用容斥定理外，应对在几个割集的交运算中，需对相同底事件进行等幂(XXX)处理。,.,16,4.2.2 近

5、似计算,1底事件概率的上、下限近似,运用容斥定理计算顶事件发生概率，虽然可以求得精确解，但计算是很繁琐的。尤其当最小割集数目很大时，就会产生“组合爆炸”问题。例如某故障树有40 个最小割集，则按容斥原理计算，共有 项。 一般来说，每一项又是许多底事件的连乘积。即使把割集的相交和化为不交和，其计算量也是相当惊人的。但在许多实际工程中，这种精确计算是不必要的。一者由于统计得到的基本数据的精确度往往是不高的，其次是单元的无效度一般是很小的。,.,17,4.2.2 近似计算,1底事件概率的上、下限近似,QS1 QS1-S2 QS1-S2+S3 QS1-S2+S3-S4 ,项的代数和中起主要作用的是前几

6、项,.,18,4.2.2 近似计算,1底事件概率的上、下限近似,顶事件发生概率的上限近似计算公式：,顶事件概率的下限近似计算公式：,首项与第二项之半的差作近似解，即：,.,19,例题4.1,设底事件x1,x2,x3组成的3取2系统，求该系统故障树顶事件发生概率。设各底事件发生概率均为0.1。,解:该故障树的最小割集有,按容斥原理，求得:,.,20,如按容斥原理，求得的顶事件发生概率精确值为0.028， P=S1-S2+S3=0.03-0.003+0.001=0.028 上限近似值为S1 =0.03； 下限近似值为S2-S1=0.03-0.003=0.027； 中间近似值为S1-(1/2) S2

7、=0.03-0.5*0.03=0.0285。 中间近似较接近精确计算值。,例题4.1,.,21,截尾技术,在核电厂概率安全评价中，涉及的系统大都比较复杂。复杂故障树含的最小割集数很多，而且最小割集的发生概率都较小，故在PSA计算中，常采用上限近似计算。 其中还在上限近似计算的基础上采用截尾技术，使计算进一步简化。一种为最小割集的事件数截尾，即规定最小割集含的最大事件数。如规定为6个，那么超过6个事件的最小割集就被删去了。另一种为概率截尾如规定概率值为10-9，小于该值的最小割集也都被删去。但概率截尾可能出问题，因为，很多被删去的最小割集的概率之和不一定还是小概率。,.,22,2.独立近似和相斥

8、近似,根据经验，只要底事件发生概率小于0.1时，可将割集看成是相互独立的。,前面列举的3取2系统，故障树顶事件发生概率：,.,23,底事件发生概率小于0.01时，可将最小割集看成是相斥的。,.,24,4.3 结构函数的不交和,.,25,容斥原理计算顶事件发生概率公式共有2n1项。当最小割集数n充分大时，就会产生“组合爆炸”问题。此时，即使用大型计算机也难以胜任。 所以，复杂系统无效度精确算法的有效途径是将相容事件和化为不相容事件和。这种运算过程称割集的不交化。,.,26,4.3.1 直接化法,Mi和Mj是相交的 但是Mi与 一定是不相交的.,.,27,推广到n个最小割集的不交化运算： 这样一直

9、简化下去，直到整个表达式成为乘积项的代数和，即不交和为止。,显然直接化法是很繁琐的。当相交和项足够多时，即使用计算机也很难实现，因为它需占用相当大的内存。,.,28,例题4.2,已知故障树的4个最小割集为： 和 底事件发生概率分别为： 试用直接化法求该树顶事件的概率。,.,29,1) 选 不交集相交项为：,.,30,2) 选不交集 相交项为：,.,31,3) 选不交集 ，相交项为：,.,32,4) 选不交集 相交项为：,.,33,得结构函数的不交和为：,.,34,4.3.2 递推化法,.,35,例题4.3,试用递推化法求例4.2结构函数的不交和集。,.,36,4.3.3 割集和路集的不交化简约

10、规则,规则1：设最小割集或最小路集 都不包含 相同的底事件，在定量计算中乘积项不必进一步展开，若已知割集或路集的发生概率为 ，则：,乘积项展开判别法则,.,37,4.3.3 割集和路集的不交化简约规则,规则2：设最小割集或最小路集 中有一部分事件与 相同，如将 中的与 中相同那些底事划去后，得到集合应为 ，则：,消去法则,例题：设,.,38,4.3.3 割集和路集的不交化简约规则,规则3：在经过消去法则处理后的集合 中，如果集合 含有 的全部底事件，则 被 吸收，即有：,吸吸法则,例题：,规则2,规则3,.,39,4.3.3 割集和路集的不交化简约规则,规则4：在经过消去法则处理后的集合 中含

11、有若干个共同底事件，则可按下展开成不交和集；,展开法则,其中,表示集合,中含有的相同底事件之积,表示,中划去相同底事件后余下,底事件之积。,.,40,例题4.3,试用递推化法求例4.2结构函数的不交和集。,规则1,规则2,规则2、3,.,41,已知故障树的最小割集为：,求这些最小割集的不交合集。 用常规的不交化方法展开共有688项，展开后还有进行等幂律和吸收律等归并运算，手算已不能胜任。,例题4.4,.,42,.,43,.,44,故障树分析的常规途径是展开故障树的结构函数，求出割集群，经过所有割集间两两比较，进行吸收归并得最小割集群；然后化相交集合和为不相交集合和，再经展开和吸收后得到不交型最

12、小割集群和不交型积之和表达式。有了不交型积之和表达式，顶事件概率就不难算了。 但在不交化过程中，不仅在诸最小割集之间，而且在每个最小割集内部的诸底事件之间，都存在不交化的运算问题，计算仍十分繁琐。,4.3.4 早期不交化,.,45,早期不交化,故障树分析的新途径采用了早期不交化，在自上而下地展开故障树的结构函数时，就对门和底事件一起进行不交化，然后逐项经过等幂律和相补律的简化，得到不交型最小割集群与积之和表达式。 在早期不交化前先经早期模块简化和逻辑简化，效果就会更好些。 无论故障树多么复杂，它的早期不交化都可按不交型运算规则简便地实施。,.,46,.,47,早期不交化的方法对付有重复底事件的

13、故障树分析，特别有利。 因为重复底事件x如果出现在与门输入端时，它在不交化展开项中表现为xx 。 出现在或门输入端时为 。 出现在异或门输入端时为 。 在任何情况下只要经等幂律（ ）和相补律 简化，就等效于消除了全部重复事件的影响。,.,48,图4-4,若设诸底事件的概率均为0.02，则顶事件的概率为： Q0.022+0.023(1-0.02)+0.024(1-0.02)2+0.024(1-0.02)3 41047.841060.1531060.15106 4.08104,.,49,容斥原理 直接化法 递推化法 早期不交化,顶事件概率计算方法,.,50,乘积项展开判别法则 消去法则 吸吸法则

14、展开法则,简约规则,.,51,4.4 故障树分析中的误差传播,.,52,误差传播是般工程研究中的常见问题，概括地说，即已知各个自变量的误差，要计算多元函数 的误差。 故障树分析中的误差传播问题，主题指由组成系统的单元可靠性参数计算系统的可靠性参数。由于作为底事件的各单元的可靠性参数都具有某种分布，则顶事件的可靠性参数也将具有一个分布。 矩法、积分法、Monte Carlo法,.,53,4.5 底事件重要度的计算,.,54,故障树分析中的重要度：结构重要度、概率重要度、诊断重要度、积分重要度、序贯贡献重要度、割集重要度等10多种。 底事件结构重要度:衡量各个底事件的发生对造成顶事件发生的重要程度

15、，它仅取决于故障树的结构和诸底事件在故障树中所处的地位。 底事件概率重要度:更主要的是还与诸底事件发生概率的大小有着密切关系，这样的概率重要度才能衡量各个底事件发生概率的降低对顶事件发生概率的降低的影响程度。 在系统的设计阶段，尚缺乏底事件发生概率数据的情况下，就必须根据结构重要度来确定系统的薄弱环节和选择诸部件的等级。,.,55,4.5.1 底事件的结构重要度,若系统中某个底事件 已发生，即 ， 记为,与其余 的取值有关的一个随机向量,若系统中某个底事件 不发生，即 ， 记为,.,56,4.5.1 底事件的结构重要度,如果当其余xi的取值已定时， 使顶事件发生，即 ，而 使顶事件不发生，即

16、，则可认为底事件i的发生对顶事件的发生是重要的。,如果 ，则认为底事件i的发生与否对顶事件发生与否是不重要的。,.,57,如果某一向量中底事件i的发生对顶事件发生是重要的， 就称 为故障树的一个关键向量。 底事件i的关键向量总数若记为 ,则有: 式中的是对2n-1个不同向量求和。 显然有 我们将比值 定义为底事件i的结构重要度。 I(i)愈接近1，说明底事件i在结构上愈重要，因此设计时也就愈应该使底事件i可靠些。,.,58,例题4.5 求如图所示故障树的结构重要度,.,59,.,60,.,61,.,62,从结构上看单元 最重要。,.,63,结构重要度的性质,故障树与成功树中各基本事件的结构重要

17、度相等； 一阶最小割集中的事件的结构重要度比多阶最小割集中的大； 在不含共同事件的K个最小割集中，阶次低的割集内的基本事件的结构重要度比阶次高的大。对所有的一阶割集，它们所含事件的结构重要度相等； 若底事件xi出现在所有最小割集中，则它的结构重要度为最大； 若底事件xi和xj出现在最小割集中的次数相同，则以出现在阶次较低的最小割集中的或的结构重要度为大。,.,64,在各底事件相互独立的假定下，顶事件概率Q为： 反映了底事件i发生的概率变对顶事件发生的概率变化所作的贡献，为此我们用它作为底事件i的概率重要度的定义，记作：,4.5.2 底事件的概率重要度,可证明：,.,65,求图故障树概率重要度,解：系统的无效