教学目的多元函数的有关概念

1、教学目的：多元函数的有关概念 教学重点：平面区域 二元函数的连续性 教学难点：二元函数极限的计算,多元函数,多元函数,以前讨论的函数只含有一个自变量，称为一元函数.,本章将以一元函数微分学为基础介绍多元函数微分学及其应用.,多元函数,但实际问题通常受多种因素的影响.,例圆柱体的体积v =r2h，它含有两个自变量.,又如温度的变化，它与空间点的坐标（x, y, z） 和时间t等因素有关，故表示温度的函数至少含 有4个自变量.,含有多个自变量的函数称为多元函数.,多元函数,定义1 全部xoy平面或由xoy面上一条或几条曲线围成的一部分平面，称为一个平面区域，常用字母D表示. 围成区域的曲线称为区域

2、的边界. 闭区域，开区域，有界区域，无界区域.,x轴上的区间可用x的不等式（组）表示， xoy平面上的区域可用x、y的不等式（组）表示.,平面区域与邻域,例题,邻域,例2 理想气体的压强P，体积V和绝对温度 T之间具有关系,其中R是常数. 对于V和T在它们的变化范围内所取的每一值，P的对应值随之而确定.,例题,例3 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则其体积为,v = xyz.,在长、宽、高的变化范围内给定一组x、y、z的数值， 体积v就随之而确定.,定义3 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P(x，y) D，变量z按照一定的法则总有确定的 值与之对应，则称z是变量x、y的二元函数(

3、或点P 的函数)，,例题,记为 z = f (x, y) (或z = f (P).,点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因 变量.,数集 z|z = f (x, y)，(x,y)D 称为该函数的值域.,类似地 可以定义三元函数u=f(x, y, z)和更多元的函数. 二元及二元以上的函数叫多元函数.,多元函数,在平面上它表示条型区域.,在平面上它表示无界开区域,多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，定义域在几何上的意义与一元函数是不同的.,例题,以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标，在空间确定了一个点M (x, y, z).,设二元函数z = f (x, y) 的定义域

4、为D，对于任意取定的点P(x, y)D，对应的函数值为z = f (x, y).,当点(x, y)在D上变化且取遍D上的一切点时，动点M (x, y, z)在空间移动形成一张曲面，称为函数z = f (x, y)的图形（图示8.5）.,二元几何意义,例5 指出下列二元函数对应的空间曲面：,解 （1）过原点的平面.,例题,记为,二元函数的极限,如沿射线、沿曲线、沿点列等等.,因而二元函数的极限一般较难计算.,不过，二元函数的极限有与一元函数极限相同的四则运算法则，且某些二元函数极限问题可以转化为一元函数的极限来计算.,注意,解,例题,若f (x, y)在区域D上每点都连续，则称f (x, y)为区域D上的连续函数.,定理1 (1) 连续函数的和、差、积、商（分母不为 零）和 复合函数仍为连续函数.,(2) 初等函数在其有定义的区域上连续.,利用定理1很容易确定初等函数的连续区域或求初等函数的某些极限.,二元函数连续性,故,定理2 （1）在有界闭区域D上连续的函数必在D上有最 大值和最小值.,（2）在有界闭区域D上连续的函数，必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.,例题,(1) 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)和复合函数 仍连续；,(2) 初等函数在其有定义的区域上连续；,(3) 在有界闭区