高等数学(同济第六版)第六章 1.元素法几何应用ppt课件

1、.,第六章 定积分的应用,第一节 定积分的元素法,.,定积分的概念,(1)将a,b分成n个小区间,(2)任取i xi-1, xi, 计算f(i)xi,(3)作和,(4)取极限,.,定积分的概念,(1)将a,b分成n个小区间,(2)任取i xi-1, xi, 计算f(i)xi,(3)作和,(4)取极限,设想a,b分的无限细，,(1)(2)两步合为： 计算,(3)(4)两步合为：,.,（1）选取一个变量 x为积分变量，,（2）设想把区间a,b分的无限细，,(3) 在区间a,b上作定积分，得,并确定它的变化区间a,b；,在任一小区间,求出部分量: dU=f(x)dx；,x,x+dx上，,即得所求的量

2、,元素法的一般步骤,.,第二节 定积分在几何学上的应用,.,一、平面图形的面积,1.直角坐标系情形,.,解,选 y 为积分变量,例1 计算由曲线 和直线,所围成的图形的面积.,=18,.,选 x 为积分变量,.,解,椭圆方程,例2 求椭圆,的面积.,.,写出下列图形的面积的定积分表示式：,2.由 y =ex与该曲线过原点的切线及y轴围成的图形。,1.由曲线,及直线x=1所围成的图形,.,其中 连续,面积元素,面积,设由曲线,及射线,围成一曲边扇形，求其面积,2. 极坐标系情形,.,例3 求阿基米德螺线 (a 0)上相应于,从0到 的一段与极轴围成图形的面积,解,.,解,例4 求心形线,所围图形

3、的面积( a 0),.,小 结,面积的求法：,一、直角坐标： （1）选择合适的积分变量，写出面积元素 （2）积分计算。,先画出图形,二、极坐标： （1）转化成曲边扇形问题 （2）利用曲边扇形面积公式：,.,写出下列图形面积在极坐标下的定积分表示式：,1. 由 及 所确定图形.,2.螺线,的第一与第二圈之间及极轴所围图形,.,若一个立体在x轴上的投影区间为a,b,A(x)为过点x且垂直于x轴的截面面积，,A(x)在a,b上连续, 求立体体积V.,1.平行截面面积为已知的立体的体积,二、体积,.,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例5 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，,并与底

4、面交成角,计算这平面截圆柱体,所得立体的体积,.,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆,直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积,.,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.旋转体的体积,.,体积为,求由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b 及x 轴,所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周,而成的旋转体体积？,积分变量为 xa,b,截面面积：,.,例7 证明底圆半径为r高为h的圆锥体的体积为：,证,建立坐标系如图,直线OP方程为,.,解,例8 求星形线 ( a 0 )绕 x 轴

5、旋转,构成旋转体的体积.,旋转体的体积,.,直线 y=c, y=d 及 y 轴所围成的曲边梯形,如果旋转体是由连续曲线,绕 y 轴旋转一周而成的立体，,体积为:,.,解,分别绕 x 轴、,例9 求摆线,的一拱与 y=0 所围成的图形,y 轴旋转构成旋转体的体积.,绕 x 轴旋转的旋转体体积,.,绕 y 轴旋转的旋转体体积,.,练 习,1.由,处的法线所,和它在,围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.,2.由,和x=0, y=1围成的图形绕y=1,旋转所得旋转体的体积.,.,小 结,一、旋转体体积 由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形， 1.绕 x 轴旋转一周

6、而成的旋转体：,2.绕 y 轴旋转一周而成的旋转体：,二、平行截面面积已知立体体积 平行截面面积为：A(x) 体积,.,依次连接相邻分点,接折线，其长为,且每个小弧段的长度都趋向于零时,得内,称此曲线弧为可求长的。,的极限存在，,设曲线弧AB,在弧上插入,分点,称此极限为曲线弧 AB的弧长,当分点无限增多,三、平面曲线的弧长,.,弧微分：,是否所有的曲线弧都是可求长的？,定理：光滑或分段光滑 的曲线弧是可求长的。,如何求弧长,.,弧长元素,弧长,设曲线弧为 y=f(x),其中 y=f(x) 在 a,b上有一阶 连续导数,取积分变量为 x,在a,b上任取小区间 x, x+dx,小切线段的长:,x=g(y),x=g(y)在c,d,y,在c,d, y, y+dy,1. 直角坐标情形,.,解,所求弧长为,求弧长步骤: (1)确定积分变量 (2)求弧微分 (3)积分,例10 计算曲线,相应于x从a到b的一段弧的长度.,.,曲线弧为,弧长,其中 在 上具有连续导数,2. 参数方程情形,.,解,根据对称性,例11 求星形线 ( a 0)的全长,.,曲线弧为,弧长,其中 在 上具有连续导数,