空间的平行直线与异面直线

1、2.1.2空间直线与直线之间的位置关系,（一） 异面直线的概念,1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线,叫做 异面直线。,思考1、同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线有几种位置关系？,(1) 特点: 不相交也不平行;,(2) 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,结论：分别在两个平面内的两条直线可能异面，可能相交，也可能平行。,2. 分类,按有无公共点分：,按是否共面分：,有且只有一个公共点相交直线,不同在任一平面内异面直线,3.两条异面直线的三种画法：,以平面为衬托,4.

2、 异面直线的判定:,连结平面内一点与平面外一点的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.,A,B,L,（1）直接证法：,（2）间接证法：,根据定义，一般用反证法,反证法,所谓反证法就是证明原命题的等价命题-逆否命题，从而间接地证明原命题正确。,步骤： （1）假设结论的反面成立； （2）据理推出矛盾； （3）从而断定原结论正确。,5. 空间四边形,顺次连结不共面的四点A、B、C、D,所组成的四边形叫做空间四边形，,相对顶点A和C，B和D的连线AC、BD是这个空间四边形的对角线.,例1 已知E、F、G、H分别是空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点， 求证：EFGH是平行四边形.,教

3、材P46-探究,变式（1）EFGH是矩形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？,变式（2）EFGH是正方形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？,知识复习,(1)平行公理： 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.,(2)平行线的传递性性质： 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.,公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行,（1）已知直线a、b、c，且ab，bc，则ac （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向,（空间平行线的传递性）,理解：,（证明空间两条直线平行的方法）,例2已知棱长为a的正方体ABCDABCD

4、 中，M、N分别为CD、AD的中点。 求证：四边形MNAC是梯形。,公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行,定理 如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,6. 异面直线所成的角,已知两条异面直线a、b，在空间任取一点O，作aa，bb ，,a与b所成的锐角或直角，叫做异面直线a、b所成的角(或叫做夹角),b,O,a,思考：异面直线所成角的范围是,异面直线所成角的范围是,探究：在平面内，垂直与同一条直线的两直线的位置关系如何？,在空间呢？,平行,平行、相交、异面,例3 在正方体ABCD-ABCD中,哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？,求直线BA与CC的夹角的度数；,哪些棱所在直

5、线与直线AA垂直？,BC 、AD、CC、 DD、DC、DC., .,AB、BC、CD、DA、 AB、BC、CD、DA,(1)在此正方体中，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？ (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条是否与这条直线垂直？ (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,变式,2、若直线a，b分别与直线c所成的角相等，则a，b的位置关系为_,3、分别与两条异面直线相交的两条直线的位置关系为_ 4、a，b为异面直线，c/a，则c与b的位置关系为_,平行或相交或异面,相交或异面,相交或异面,1空间两直线平行是指它们（ ） A无交点 B共面且无交点 C和同一条直

6、线垂直 D以上都不对,练习,2在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，则这两个角（ ） A相等 B互补 C相等或互补 D既不相等也不互补,3一条直线与两条平行线中的一条是异面直线， 那么它与另一条的位置关系是（ ） A相交 B异面 C相交或异面或平行 D相交或异面,B,C,D,4如图， 是长方体的一条棱，这个长方体中与 异面的棱共有（ ） A3条 B4条 C5条 D6条,B,5两条异面直线是指（ ） A空间两条没有公共点的直线 B平面内一直线与这个平面外的一直线 C分别在两个平面内的两条直线 D不同在任何一个平面内的两条直线,D,6.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD

7、交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为,A1,D1,C1,B1,A,B,C,D,O,900,在正方体ABCD-ABCD中，棱长为a，E、F分别是棱AB，BC的中点，求：,异面直线 AD与 EF所成角的大小；,异面直线 BC与 EF所成角的大小；,异面直线 BD与 EF所成角的大小.,O,G,AC AC EF, OG BD,BD 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角,即为AOG或其补角.,平移法,异面直线所成的角的求法:,例6：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小,如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = ,

8、 AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,例7,思考题：,直线a、b、c相交于同一点O，并且a、b、c不共面，点A、Da,点B b,点C c, 求证：AC与BD是异面直线,1.在空间四边形S-ABC中，SABC且 SA=BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）,C,D,(A)300 (B)450 (C)600 (D)900,B,G,且PE/BC, PF/AD,解:设P为AC中点,连结EP、FP. 则, PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.,在PEF中, PE=PF=

9、1, EF=,即异面直线AD和BC成600角,G,关于异面直线的范例,1.若E,F,G,H顺次为空间四边形ABCD的四边的中点,且EG=3,HF=4,则 2.AB,CD分别是两条异面直线上的线段,M,N分别是它们的中点,则下列各式成立的是( ) (A) (B) (C) (D),关于异面直线的范例,3.已知直线a和b是异面直线，直线c/a,直线b与c不相交，求证：直线b与c是异面直线 已知过同一点的三条直线a,b,c不共面， 求证：和是异面直线 已知 求证：a与b是异面直线,6.课堂小结,说明：异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不