椭圆的简单几何性质（最全）

1、,2.2.2 椭圆的简单几何性质,2,复习：,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是,a2=b2+c2,焦点在x 轴上,椭圆的标准方程,焦点在y 轴上,F1(-c，0),F2(c，0),F1(0，c),F2(0，-c),Ax2By21（A0，B0，AB）,椭圆的一般方程,一、椭圆的范围,即,-axa -b yb,结论：椭圆位于直线xa和yb围成 的矩形里,6,关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称,二、椭圆的对称性,二、椭圆的对称性,结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形,对称轴

2、是x轴和y轴，对称中心是原点,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心,8,从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。,即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心。,练习：1.已知点P(3，6)在 上,则( ),(A) 点(-3,-6)不在椭圆上,(B) 点(3,-6)不在椭圆上,(C) 点(-3,6)在椭圆上,(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上,三、椭圆的顶点,顶点

3、：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,o,x,y,B1(0,b),B2(0,-b),A1(-a,0),A2(a,0),令x=0,得y=？说明椭圆 与y轴的交点为(0,b)、(0,-b),令y=0,得x=？说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0),三、椭圆的顶点,长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？,焦点落在椭圆的长轴上,椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。,长轴：线段A1A2；,长轴长 |A1A2|=2a,短轴：线段B1B2；,短轴长 |B1B2|=2b,焦 距 |

4、F1F2| =2c,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；,焦点必在长轴上；, a2=b2+c2，,B2(0,b),B1(0,-b),b,a,c,椭圆的简单几何性质,a,|B2F2|=a；,由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.,小 结 ：,14,根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,四、椭圆的离心率,1离心率的取值范围：因为 a c 0，所以0c0,一个框，四个点， 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现,课堂小结,用曲线的图形和方程,来研究,椭圆的简单几何性质,课前练习1,2020/

5、6/30,26,例2 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程,分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置,椭圆的标准方程为： ；,椭圆的标准方程为：,解：（1）当 为长轴端点时， ， ，,（2）当 为短轴端点时， , ，,综上所述，椭圆的标准方程是 或,27,已知椭圆 的离心率 ，求 的值,由 ，得：,解：当椭圆的焦点在 轴上时，,当椭圆的焦点在 轴上时，,由 ，得 ，即 ,满足条件的 或 ,练习2：,28,测试,1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是( ),2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为6，,则椭圆的方程 为（ ）,D,C,练习 求经过点

6、P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.,解：,练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.,解：,复习练习： 1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）,C,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1. 经过点P（3,0）、Q（0，2）； 2. 长轴的长等于20，离心率等于 .,注意：焦点落在椭圆的长轴上,注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况,练习,2.离心率为 ,且过点(2,0)的椭圆的标准 方程为 多少?,课本47页例题6,36,直线与椭圆的位置关系 ：,5. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）,点B，C是

7、短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,6、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点 的距离之和为12，求椭圆G的方程。,一、直线和椭圆的位置关系,通过直线方程和椭圆方程联立成方程组， 解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。,2、弦长公式：,第二种方法是处理直线和椭圆位置关系 的常用方法，利用根与系数的关系,设出 交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。,这种方法称为设而不求， 这个公式叫做弦长公式。,48,49,差分法,直线与椭圆：,（2）弦长问题,（3）弦中点问题,（4）与垂直有关的问题,（1）直线与椭圆位置关系,P(2,1),60,61

8、,62,63,64,65,y,66,1.对于椭圆的原始方程, 变形后得到 , 再变形为 . 这个方程的几何意义如何？,新知探究,O,x,y,F,椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距 离与它到直线 的距离之比等于离心率.,新知探究,若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则点M的轨迹是椭圆.,新知探究,直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相 应于焦点F1(c，0)的准线方程是,新知探究,椭圆 的准线方程是,新知探究,椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是,新知探究,对于椭圆,椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是,最大值为a

9、，最小值为b.,新知探究,椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？,新知探究,点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，F1MF2为最大？,点M为短轴的端点.,新知探究,椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.,|MF1|aex0,|MF2|aex0,新知探究,椭圆 的焦半径公式是,|MF|aey0,新知探究,例1 若椭圆 上一点P到椭圆 左准线的距离为10，求点P到椭圆右焦点的距离.,12,典型例题,例2 已知椭圆的两条准线方程为y9， 离心率为 ，求此椭圆的标准方程.,典型例题,课堂小结,1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比

10、等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.,H,d,(a,0),a,(0,b),b,(-a,0),a+c,(a,0),a-c,83,84,85,86,课堂新授,例3.点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到 定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点 M的轨迹.,例2.点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到 定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点 M的轨迹.,d,变式1、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线 x=8的距离的比是1:2, 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。,练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程,(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点， F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴 长是6且cosOFA=2/3;,(1)椭圆过(3,0),离心率e= ;,练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程,(1)在 x轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相 垂直,且焦距为6；,(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点， F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴 长是6且cosOFA=2/3;,(3)椭圆过(