极坐标与直角坐标的互化最新版本VIP

1、极坐标和直角坐标的互化,【自主预习】 极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位 相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y), (,).,cos,sin,x2+y2,【即时小测】 1.极坐标系中,点(1,)的直角坐标为 ( ) A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,-1),【解析】选B.由公式 得 所以点(1,) 对应的点的直角坐标为(-1,0).,2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为_(0,02).,【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极 点)的距离为2016

2、,极角= +2k,kZ, 因为02,所以= . 所以点(2016,-2016)的极坐标为 . 答案:,【知识探究】 探究点 极坐标和直角坐标的互化 1.点与极坐标是一一对应的吗?,提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一一对应的,点M与极坐标(,)不是一一对应的,即点M的极坐标不唯一.,2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?,提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式 分别计算极径和极角,求极角时先计算 0,2)内的角0,再表示为0+2k,kZ.,类型一 点的极坐标与直角坐标的转化 【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非 负半轴为极轴,0,R完成下列各题

3、: (1)将极坐标M 化为直角坐标. (2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.,【解析】(1)将点M的极坐标 代入公式 所以点的直角坐标为(-3 ,-3).,(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式 且的终边经过点N(-2016,2016),所以= , 所以点N的极坐标为 ,kZ.,【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略 (1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项. 化点的直角坐标为极坐标时,一般取0,0, 2),即取最小正角,由tan= (x0)求时,必须 根据角的终边经过点(x,y)所在的象限来确定的值.,(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的 三角变换公

4、式,如半角公式,【变式训练】1.(2016绵阳高二检测)将点M的极坐标 化成直角坐标是 ( ) A.(-1,-1) B.(1,1) C.(1, ) D.( ,1),【解析】选C.由公式 所以(1, )即为所求.,2.若已知极坐标平面内的点P ,求点P关于极点 对称的点的极坐标及直角坐标.,【解析】点P关于极点的对称点P到极点的距离仍为2, 即=2. 又P与P的极角间相差+2k,kZ, 故=- +2k,kZ, 故P的极坐标可以为 ,由x=2cos =-1,y=2sin =- , 故点P的直角坐标为(-1,- ).,类型二 极坐标与直角坐标转化的应用 【典例】已知A,B两点的极坐标为 求线段 AB

5、中点的直角坐标.,【解析】因为A点的极坐标为 所以 所以A(3, ), 同理可得B(-4, ). 设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得,所以线段AB中点的直角坐标为,【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为 故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8, 故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的 极坐标为,方法二:因为线段AB中点的直角坐标为 故 因为AB中点在第三象限,故 故中点的极坐标为,2.试求直线AB的方程.,【解析】因为A点的极坐标为 所以 所以A(3, ), 又因为直线AB的倾斜角为 故斜率 故直线AB的方程为 即,【方法技巧】应用点的极

6、坐标与直角坐标互化的策略 在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可.,【变式训练】1.若点M的极坐标为 则点M关于y轴 对称点的极坐标为_.,【解析】点M的极坐标为 所以点M的直角坐标为 所以点M关于y轴对称点的直角坐标为 由 又点(-3 ,-3)位于第三象限.,故 则所求点的极坐标为 答案:,2.在极坐标系中,已知 求|AB|.,【解析】由点A的极坐标为 可得点A的直角坐标为 同理点B的直角坐标为(2 ,-2),则|AB|=,【归纳总结】 1.直角坐标与极坐标的关系 三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三 角函数定义,角的顶点在原点O(极点),始边为横轴的 正半轴,M(x,y)为角终边上的一点,|OM|= 则sin= ,cos