大学物理第5章角动量守恒定律

1、5.1 质点的角动量 角动量定理,1.质点的角动量,称为质点相对参考点O的角动量或动量矩,第5章 角动量 角动量守恒定律,例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量,任意时刻 t， 有,（1） 对 A 点的角动量,（2） 对 O 点的角动量,2. 质点的角动量定理,角动量的时间变化率,力矩,定义：对O点力矩,质点的角动量定理,大小,质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率,3角动量守恒定律,则,或,若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。,若,质点的角动量定理,例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？,例. 试利用角动量守恒定律

2、: 1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在 相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变. (2) 说明天体系统的旋转盘状结构.,(1) 行星对太阳O的角动量的大小为,其中,是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.,表示,时间内行星所走过的弧长, 则有,表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有,用,证明,时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积, 如图中所示.,其中,是,d /dt 称为掠面速度.,由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且,这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.,(

3、2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构,天体系统的旋转盘状结构,5.2 质点系的角动量定理,质点系角动量,第i个质点角动量的时间变化率,质点系的角动量定理,时,质点系的角动量守恒,例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。 若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？,h,h,m1,m2,解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。,此系统的总角动量为,v1左边孩子向上的速度；,v2右边孩子向上的速度；,此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩，彼此抵消。 （内力矩不改变系统

4、角动量。）,因此整个系统角动量守恒。,R,设两个小孩起初都不动，即,以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零，即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。,若两个小孩重量不等，即,系统所受外力矩,系统总角动量,仍设起初两个小孩都不动，,由角动量定理,若,有,轻的升得快；,R,例.光滑水平桌面上放着一质量为M的木块, 木块与一原长为L0, 劲度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另一端固定于O点. 当木块静止于A处时, 弹簧保持原长, 设一质量为m的子弹以初速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧的长度为L.,求木块在B点的速度 vB的大小和方向

5、.,解:,(1) m和M相撞时,系统的动量守恒,(2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒,(3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒,5.3 刚体的定轴转动,(1)平动:,在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行,A,B,A,B,B ,A,刚体的平动,任意质元运动都代表整体运动,(2) 定轴转动,刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动,1.刚体的平动和定轴转动,用质心运动代表刚体的平动,（质心运动定理）,2 用角量描述转动,1) 角位移 : 在 t 时间内刚体转动角度,2)角速度 :,3)角加速度 :,z,刚体定轴转动,角速度,的方向按右手螺旋法则确定,

6、切向分量,法向分量,z,O,线量与角量关系,匀变速直线运动,匀变速定轴转动,5.4 定轴转动刚体的角动量定理 角动量守恒,质点系的角动量定理,Z轴分量,质元,对O点的力矩,（垂直z轴）,（垂直z轴）,1.刚体对转轴的力矩和角动量,刚体到转轴的转动惯量,对固定轴,2.刚体对定轴的角动量守恒,角动量定理,1 质点,由,微分式,积分式,2 质点系,由,微分式,积分式,3 定轴转动刚体,积分,这里,定轴转动刚体角动量守恒,若转动惯量有变化，则有：,1.刚体定轴转动定律,与牛顿第二定律对比,刚体到转轴的转动惯量,转动惯量的物理意义:,(1). 刚体转动惯性大小的量度,(2). 转动惯量与刚体的质量有关,

7、(3). J 在质量一定的情况下与质量的分布有关,(4). J与转轴的位置有关,对比刚体的角动量和质点的动量,5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能,2.转动惯量的计算,称为刚体对转轴的转动惯量,对质量连续分布刚体,线分布,面分布,体分布,是质量的线密度,是质量的面密度,是质量的体密度,例: 一均匀细棒长 l 质量为 m,1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒,2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒,求: 上述两种情况下的转动惯量,O,Z 1,解: 设棒质量的线密度,所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义,有关转动惯量计算的几个定理,1） 平行轴定理,h,式中:,关于通过质心轴的转动惯量,

8、m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离,是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量,z,C,2） 转动惯量叠加，如图,式中:,是A球对z轴的转动惯量,是B棒对z轴的转动惯量,是C球对z轴的转动惯量,3） 回转半径,任意刚体的回转半径,式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量, m 是刚体的质量,例:,G 不是质心,C,G,转动惯量的计算,例:,求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:,解:,R,r,ds,Z,质量面密度,刚体定轴转动定律的应用,a,m1g,m2g,T,解：,对否？,T1,T2,T,否则滑轮匀速转动，而物体加速运动,T1,T2,转动定律,线量与角

9、量关系,M,例1：质量为M，半径为R的均匀圆盘形定滑轮上绕一轻绳，绳的两端分别悬挂质量为m1和m2的物体，m1 m2，滑轮与轴间无摩擦，绳与滑轮间无相对滑动。求物体的加速度a 。,例2.已知：匀质杆m，长 一端O固定，当由水平位置自由下落到时,求：,解：,C,质心运动定理,转动定律,质心运动定理,例3:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为 。令圆盘以0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？,解:,m = 0 ?,摩擦力的和?,例4.已知：匀质杆M，长 一端悬挂于固定点O，子弹m，水平速度 , 射入不复出,求：,解：,对M， m系统,系统角动量守恒,射入后瞬间,刚体的转动动能,定轴转动动能定理,力矩作功,3.转动中的功和能,例：质量为m，长为 l 的均匀直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内运动。初始时，棒静止在水平位置。求它由此自由下摆角时的角速度和角加速度。,解:,定轴转动定律,动能定理,*5.6 进动,据刚体的角动量定理有:,同方向,重力矩,式中:,是陀螺质心的位置矢量, 与自转轴同向, 与之平行,时间内,的变化为:,角