应力状态强度理论

1、2020年6月30日,材 料力学,第7章 应力和应变分析强度理论,目 录,7-1 应力状态概述,7-2 平面应力状态分析-解析法,7-3 平面应力状态分析-图解法,7-4 三向应力状态分析,7-5 广义虎克定律,7-6 复杂应力状态的变形比能,7-7 强度理论,一、一点的应力状态,7-1 应力状态的概念,(1) 同一面上不同点的应力各不相同; (2) 同一点不同方位面上的应力也不相同。,重要结论：,一点的应力状态,过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力状态。,二、研究应力状态的目的,1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题,2. 有助于理解和解释某些破坏现象, 为什么塑性材料拉伸 时会出

2、现滑移线？ 为什么脆性材料扭转 时沿45螺旋面断开？,三、应力状态的研究方法,1、单元体特征,2、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体,取单元体,3、主平面 切应力为零的截面,4、主应力 主平面上的正应力,说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即,四、单元体的取法,五、应力状态的分类,1、空间应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零,2、平面应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零,3、单向应力状态 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零,例题1

3、分析薄壁圆筒受内压时的应力状态,解： 求轴向应力,得轴向应力为, 求周向应力,解得周向应力为,主应力为,筒体内壁, 径向应力,三向应力状态的实例,滚珠轴承,例2 已知：球形容器，t , D, p 。,解：,求：容器壁内的应力。,取研究对象如图。,与薄壁圆筒的情况类似，有：,所以：,平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx,7-2 平面应力状态分析解析法,一、斜截面上的应力,(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正,（2)正应力仍规定拉应力为正,（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正,符号的确定,由三角形的平衡,化简以上两个平衡方程最后得,不难看出,

4、即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数,二、最大正应力及方位,1、最大正应力的方位,令,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.,将 0和 0+90代入公式,得到 max 和 min (主应力）,(2)当xy 时 ， 0 是x与min之间的夹角,(1)当x y 时 ， 0 是x与max之间的夹角,二、最大切应力及方位,1、最大切应力的方位,令,1 和 1+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.,2、最大切应力,将 1和 1+90代入公式,得到 max和min,可见,例题3 图示单元体，已

5、知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,(1) 求 ef 截面上的应力,(2) 求主应力和主单元体的方位,x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa =-30,因为 x y ，所以 0= -22.5 与 min 对应,例2 ： 讨论圆轴受扭转时的应力状态并分析铸铁件受扭时的破坏现象。,解：破坏时沿45线断开,最大切应力,取单元体如图,圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂直于断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破坏是拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于

6、抗剪和抗压强度。,或,例 5,已知: A点应力 = -70 MPa, = 50 MPa。,解：,求：A点主应力和 主平面，及其它点 的应力状态。,A点单元体,主应力,主应力,主方向,或,单向拉伸,其它几点的应力状态,单向压缩,纯剪切,主应力迹线,实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线,在这样的曲线上，任一点的切线代表该点主应力的方向，这种曲线成为主应力迹线。,x,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,一、莫尔圆(Mohrs circle),将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得,7-3 平面应力状态分析图解法,

7、上式在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 .,1、圆心的坐标,2、圆的半径,此圆习惯上称为 应力圆 或称为莫尔圆,(1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺,二、应力圆作法,1、步骤,o,(2) 量取,OA= x,AD = xy,得 D 点,OB= y,(3) 量取,BD= yx,得 D 点,(4) 连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点,(5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,(1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为,(2)该圆半径为,2、证明,三、应力圆的应用,1、求单元体上任一 截面上的应力,从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向 转动 2 得到半径 CE

8、. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 。,证明,角度的起点,点和面的对应关系,二倍角关系,转向一致,2、求主应力数值和主平面位置,(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2,（2）主平面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线,0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定,3、求最大切应力,G1 和 G 两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力,因为最大最小切应力 等于应力圆的半径,例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = - 1MPa , y

9、 = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在 =30和 = - 40两斜面上的应力。,解: (1) 画应力圆,量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点;,OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点 .,以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。,将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就 代表 = 30斜截面上的应力。,(2) 确定 = 30斜截面上的应力,(3) 确定 = - 40斜截面上的应力,将 半径 CD顺时针转 2 = 8

10、0到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40 斜截面上的应力。,例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。,解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图,Mmax = MC = 80 kNm,FSmax =FC左 = 200 kN,(2)横截面 C上a 点的应力为,a点的单元体如图所示,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,O,（3)做应力圆,x =122.5MPa， xy =64.6MPa,y=0， yx =-

11、64.6MPa,A1，A2 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个主应力 1 和 3,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,(4)横截面 C上b点的应力,b点的单元体如图所示,b 点的三个主应力为,1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C,已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3,利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。,一、 三向应力圆,7-4 三向应力状态简介,首先研究与主应力 平行的斜截面上的应力，由于 作用平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 平行的斜截面上的应力与 无关，这一组斜截面上的应力在平面上所对应的点，必在由 和 所确定的应力圆的圆周上。,同理，可画出另

12、外两个应力圆。将三个应力圆画在同一平面上，称为三向应力圆。,与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力所对应的点，位于三个应力圆围成的阴影线区域内。,由三向应力圆可见,最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。,例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位.,解: 该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,A1，A2

13、 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力 1 和 3, 1 =46MPa, 3 =-26MPa,该单元体的三个主应力, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,单独存在时,单独存在时,单独存在时,同时存在时,一、广义胡克定律,7-5 广义胡克定律,同理可得2、3方向的应变，一并写为：, 主应变方向与主应力方向相同；, 线应变与切应力无关， 切应变与正应力无关。,对非主单元体，可以证明两个结论：,例题5 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比

14、=0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力和最大切应力。,解：铜块横截面上的压应力,解得,铜块的主应力为,最大切应力,例11.6 图示矩形截面简支梁，在梁的跨中受一集中力作用，测得中性层上点处沿45方向的线应变为 。已知材 料的弹性模量E 和泊松比 ，试求集中力F 的大小。,解：k点为纯剪切应力状态，单元体如图所示。,（a）,由上式解出,（b）,（a）,例题11.7 从钢构件内某一点的周围取出一部分如图所示。根据理论计算已求得 ， 。材料的弹性模量 ，泊松比 。试求对角线AC的长度改变 。,。,解：,二、各向同性材料的体积应变,构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变

15、用表示.,如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3,V1=a1(1+ a2(1+2 a3(1+3,体积应变为：,令,m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。上式称为体积胡克定律。,纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.,一、应变能密度的定义,二、应变能密度的计算公式,1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为,物体在单位体积内所积蓄的应变能.,7-9 复杂应力状态的应变能密度,将广义胡克定律代 入上式, 经整理得,2、三个主应力同时存在时, 单元体的应

16、变能密度为,应变能密度 v等于两部分之和,式中，体积改变能密度为：,形状改变能密度为：,例98证明弹性模量E 、泊桑比 、剪切弹性模量G 之间的关系为 。,3,1,证明：,纯剪应力状态比能为,用主应力计算比能,一、强度理论的概念,1. 什么时强度理论,11-5 强度理论,强度理论是关于材料破坏原因的学说。,2.材料的两种破坏类型, 脆性断裂，, 塑性屈服,3. 强度理论的提出,杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，其强度条件分别为,许用应力可由实验测出。,在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极限应力，提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这

17、些假设称为强度理论。强度理论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的试验破坏时的同一因素，材料也将失效。,二、常用四个强度理论, 第一强度理论（最大拉应力理论）,该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为,强度条件为：, 第二强度理论（最大拉应变理论）,该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的：复杂应力状态下，当最大拉应变 1达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应变时，材料发生脆性断裂破坏，即断裂条件为,强度条件为：, 第三强度理

18、论（最大剪应力理论）,该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起的：复杂应力状态下，当最大切应力max达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的最大切应力S 时，材料发生塑性屈服破坏，即屈服条件为,强度条件为：, 第四强度理论（形状改变比能理论）,该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度vd 达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度vd，材料发生塑性屈服破坏。,相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为,单向拉伸至屈服时，,，,代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为,强度条件为：,按照形状改变能密度理论，屈服判据为,1. 强度理论的统一形式：,r 称为相当应力,第一相当应力,第二相当应力,第三相当应力,第四相当应力,三、强度理论的应用,2. 强度理论的选用,一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应 采用第一和第二理论； 塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应 采用第三和第四理论。,特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第一和第二理论； 三向压缩时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第三和第四理论。,例题9 根据强度理论 , 可以从材料在单轴拉伸时的 可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的 .,纯剪切应力状态下:,1 = , 2 = 0 , 3 = ,按第三强度理论得强度条件为：,另一方面，剪切的强