平面向量的分解

1、2.3 平面向量的基本定理,2.3.1 平面向量的 基本定理,问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？ 提示：可以 问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？ 提示：不确定,新课讲解,问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？ 提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则 问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示,一、平

2、面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数、u，使a . (2)基底： 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.,不共线,任意,有且只有一对,不共线,所有,e1ue2,1. 如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确 e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)； 若实数，使得e1e20，则0.,分析思考,解：由平面向量基本定理可知，是正确的； 不正确，

3、由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的； 不正确，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个,2设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列 四组向量中，不能作为基底的是( ) Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2 Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2 解析：6e18e22(3e14e2)， (6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2 不能作为平面的基底 答案：B,问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？ 提示：有 问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？ 提示：所成的角为90时,二、

4、平面向量的夹角,非零向量,AOB,0180,同向,反向,90,ab,1关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？ 一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； 基底中的向量一定不是零向量 提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故不正确，正确,提示：不对，是B.,分析思考,概念理解,例题讲解,答案 30 120,答案：120,跟踪练习,例题讲解,跟踪练习,例题讲解,跟踪练习,2.3.2-3 平面向量的 正交分解及坐标运算,1平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解 2

5、平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a ，则把有序数对 叫做向量a的坐标记作 ，此式叫做向量的坐标表示 (2)在直角坐标平面中，i ，j ，0 ,互相垂直,向量,(x，y),xiyj,a(x，y),(1,0),(0,1),(0,0),单位,新课讲解,3平面向量的坐标运算,(x1x2，,y1y2),(x1x2，y1y2),相应坐标,(x，y),相应坐标,(x2x1，y2y1),1与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，

6、即a(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y) 2已知向量 (1，2)，M点的坐标与 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同； (1，2)，而M(1，2),分析思考,3在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量 4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变,例题讲解,跟踪练习,例题讲解,答案：B,跟踪练习,例题讲解,思考：保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的

7、中点？,1已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的对应关系用v f(u)表示 (1)若a(1,1)，b(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标 (2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐标,解：(1)由vf(u)可得当u(x，y)时，有v(y,2yx)f(u)，从而f(a)(1,211)(1,1)， f(b)(0,201)(0，1),跟踪练习,2. 若向量|a|b|1，且ab(1,0)，求a与b的坐标,例4 已知a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)， 且有cpaqb.试求实数p，q的值,1. 已知A(3,2)、B(5,4)、C(6,7)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标 错因分析 只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有考虑,跟踪练习,可得(63,72)(5x,4y)， 解得x2，y1. 故所求顶点D的坐标为D(2，1) 综上可得，以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，1),2.3.4 平面向量共线的 坐标表示,提示：(1)、(2)中，b2a，(3)中，b2a，(4)中，ba.,新课讲解,问题2：以上几组向量中a，b共线吗？ 提示：共线 问题3：当ab时a，b的坐标成比例吗？ 提示：坐标不为0时成比例,(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当 时，向量a与b共线 (