有限元法及应用总结

1、有限元法及应用总结一下，1 .有限元的作用是什么？1 )在计算机模拟中，可以快速有效地实验很多假设，减少模型试验的数量。 2 )模拟不适合用原型进行试验的设计，比如人工膝盖这样的器官移植。 3 )节约费用，降低设计和制造，开发成本4 )节约时间，缩短产品开发时间和周期5 )创造更可靠、高品质的设计。 2 .有限元的基本概念，有限元：一般用有限元描述现实系统。 有限元法：求解区域视为由节点上相互连接的多个小单元(子场)构成，该模型给出了基本方程式的切片(子场)近似解，单元(子场)可分割成各种形状和大小不同的大小，因此是复杂的几何再加上对成熟的大规模软件系统的支持，非常受欢迎，应用了非常广泛的数值

2、计算方法。 有限元模型和有限元分析，有限元模型：这是实际系统建模的数学抽象。 由几个简单形状的单元格组成，单元格间由节点连接，并承受一定的载荷。 有限元分析：用数学近似的方法模拟实际物理系统(几何和荷载工况)。 简单、交互的单元可以用来以有限数量的未知量近似无限数量的未知系统。 1 )将连续体分割为有限个单元，并且不考虑具有每个单元的边界节点(节点)作为离散点的2 )微分方程式，而是根据单元本身的特征进行研究。 3 )理论基础简洁，物理概念明确，可以在不同水平上确立对该方法的理解。 4 )具有灵活性和适用性，适应性强。 因为可以集中解开形状不同、性质不同的单元，所以特别适合解开用不同部件组合的

3、结构，应用范围极其广泛。 它不仅能很好地处理应力分析中的不均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变、复杂边界条件等问题，而且随着其理论基础和方法的逐渐完善，也成功地解决了热传导、流体力学、电磁场领域等多种问题。 )5)在具体的导出运算过程中，矩阵法被广泛采用。 4、有关有限元法的内容是什么？有限元法在数学和力学领域作为依据的理论单元的分割原则形状函数的选择和协调性有关有限元法的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性计算机程序设计技术向其他领域推进。 5、有限元法的分类，有限元法分为线弹性有限元法和非线性有限元法两种。 其中，线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，两者不仅类似于分析方法和研究步

4、骤，而且后者还经常要引用前者的结果。 线弹性有限元、线弹性有限元以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形是基于小变形假说的。 在这样的问题中，材料的应力和应变是线性关系，满足广义钩定律的应力和应变也是线性关系，线弹性问题可以归结为解线性方程式问题，所以只需要很少的计算时间。 如果采用高效的代数方程式的解方法，也有助于减少有限元分析的时间。 线弹性有限元通常包括线弹性静力学分析和线弹性动力学分析。 非线性有限元、非线性问题和线弹性问题的差异：1)非线性问题的方程式是非线性的，一般需要反复解2 )非线性问题不能采用叠加原理3 )非线性问题并不是总是有一致解，有时也不能解。 以上三个因素非线性问题的解决

5、过程比线弹性问题复杂，费用高，具有不可预测的智力。1 )材料非线性问题、有限元求非线性问题可分为以下3种。 1 )材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力和应变很小，在这种情况下，应变和位移呈线性关系。 这种问题是材料非线性问题。 由于无法提供理论上普遍接受的结构关系，一般材料的应力和应变的非线性关系可以基于实验数据，非线性材料的特性可以在数学模型中模拟。 这些模型总是有限度的。 工程实际重要的材料非线性问题有非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性、蠕变等。 2 )几何非线性问题、几何非线性问题是由位移之间存在非线性关系引起的。 物体位移大时，失真和位移的关系是非线性的。 研究这

6、种问题一般假定材料的应力和应变呈线性关系。 这有大位移大变形和大位移小变形的问题。 结构的弹性弯曲问题是大位移小变形问题，橡胶构件形成过程是大变形问题。 3 )非线性边界(接触问题)在加工、密封、冲击等问题上，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高非线性边界。 平时面临的接触问题，例如齿轮传动、冲压成形、轧制成形、橡胶阻尼器、配合组装等，在一个结构与另一结构或外部边界接触时，必须考虑非线性边界条件。 实际的非线性可同时发生上述两个或三个非线性问题。 *6.有限元的基础理论包括哪些部分？ 1 .加权剩馀法加权剩馀法：把剩馀的加权函数设为零求出微分方程式的近似解的方法称为加权剩馀法。 (Weig

7、hted residual method WRM )加权馀数法是求解微分方程近似解的有效方法。 显然，独立的完整函数集可以用作权重函数。 根据加权函数的选择得到不同的加权馀数计算方法，主要有配点法、子场法、最小二乘法、矩法、伽马法。 其中伽马辽金法的精度最高。 利兹方法：如果微分方程具有线性和自伴的性质，则建立其等效积分形式，不仅利用加权馀数法求其近似解，还能建立其等效的变分原理，得到另一种近似解法。 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽马辽金法等于其变分原理，原问题的微分方程和边界条件等于泛函的变分零，即泛函取定值。 相反，泛函取值，等于满足问题的微分方程和边界条件。 泛函

8、是用元问题的等价积分的伽马辽金法得到的，这样得到的变分原理称为自然变分原理。 2 .利兹法对于具有线性、自伴随性质的微分方程，在得到与其等效的变分原理后，可以建立求近似解的过程。 其本质是从家族的假设解求出满足泛函变量的“最佳”解。 显然，近似解的精度与启发式函数(形状函数或试函数)的选择相关，如果知道要求的一般性质，则可以通过选择反映该性质的启发式函数来改善近似解，提高近似解的精度。 2、节奏法(续)、3、虚功原理平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包括虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。 他们可以认为是与一些控制方程式同等的积分“弱”形式。 虚功原理：变形体中

9、满足平衡的力系在满足协调条件的变形状态下工作的虚功等于零，也就是说体系外力的虚功和内力的虚功之和等于零。 虚位移原理是平衡方程式和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚拟应力原理是几何方程式和位移边界条件的等效积分的“弱”形式。虚拟位移原理的力学意义：如果力系平衡的话，对虚拟位移和虚拟应变作用的功的合计为零。 相反，如果力系对虚位移(以及虚变形)作用的功之和为零，一定会满足平衡方程式。 因此，虚位移原理表现了力系平衡的必要且充分的条件。 一般来说，虚拟位移原理不仅适用于线弹性问题，还适用于非线性弹性、弹塑性等非线性问题。 但是，所有的问题都适用吗？ 3、虚功原理(续) 平衡方程式和几何方程式的

10、等价积分“弱”形式，虚应力原理的力学意义：如果位移协调，虚应力和虚边界约束反作用力在他们上的工作总和为零。 相反，如果上述虚系在他们之上的工作之和为零，他们一定会满足于和谐。 因此，虚应力的原理表现了位移协调的必要且充分的条件。 虚应力原理可应用于线弹性、非线性弹性等不同力学问题。 但是必须指出，不管虚位移原理和虚应力原理，他们所依赖的几何方程式和平衡方程式都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。 3 .虚功原理(续) 平衡方程式和几何方程式的等效积分“弱”形式，4 .最小位能原理和最小馀能原理明确：最小位能原理基于虚位移原理，最小馀能原理基于虚应力原理。 最小比特能

11、量的原理是指，在所有可能的位移中，实际的位移可以使系统整体的比特最小化。 总位能是弹性体的变形位能和外力位能的和。 最小馀能原理是指在所有应力中，真正的应力使系统的总馀能最小化。 总馀能是指弹性体的馀能和外力的馀能的总和。 一般来说，利用最小位能的原理求出位移近似解的弹性变形能是精密的解变形能的下限，近似的位移场整体较小，即结构的计算模型利用硬的最小馀能的原理求出的应力近似解的弹性馀能是正确的解的上限，即近似的在分别利用这两个极值原理解同一个问题的情况下，我们得到了这个问题的上界和下界，能够更准确地估计所得近似解的误差，对工程学计算有实际意义。 4 .最小位能量原理和最小馀能原理(续)，*7.

12、单元分割原则是什么？ 梁、棒单元划分原则两个节点之间的棒构成一个单元：1)棒构件的交点必须选择节点(梯子)2)台阶状杆的截面变化部位必须作为节点(台阶轴)3)支承点和自由端选定为节点(悬臂) 集中负荷作用的地方最好选择节点5 )求位移这一点最好选择节点6 )单元长度大致相同。 平面单元分割原则，1 .单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元等参数单元。 他们的特征是，单元的节点数越多，其计算精度就越高，三角形单元和等参数单元可以适应任意边界。 2 .区分原则：1)区分单元的个数根据计算机要求的精度和计算机容量，单元的分配越多，模块越小，精度越高，但因为必要的计算机容量大，所以必须根据实际的

13、情况来决定。 2 )区划单位的大小根据部位而不同，在位移和应力的变化大的部位，取得单位小，在位移和应力的变化小的地方单元大，在边界比较平滑的地方单元大。 3 )划分小区的形状一般可以是三角形或等参元。 虽然可以混合使用不同的单元来使直线边界成为矩形单元，但必须将节点连接到节点，而不要将节点连接到单元的边。 4 )请不要使单元格各边的长度有很大差异。 否则会影响求解精度。 5 )尽量选择集中力和集中力偶数的作用点作为节点。6 )尽量利用对称性来减少计算量(有限元法的最大优点是使用矩阵的方法)。 平面单元分割原则(续)，*8.有限元法分析过程有限元法分析过程大致分为：预处理、分析、后处理三个步骤。

14、 将实际连续体离散化后，建立了有限元分析模型。 这个过程是有限元的预处理过程。 在此阶段，为了建立计算对象的几何模型，分割有限元网格，生成有限元分析的输入数据是有限元分析的重要步骤。 有限元分析过程主要包括单元分析、整体分析、载荷位移、约束引入、约束方程解决等过程。 这个过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要出现在这个过程中。 有限元法有有限元位移法、有限元力法、有限元混合法三种。 在有限元位移法中，将节点位移选择为基本未知量的有限元方法中，在将节点力选择为未知量的有限元混合法中，一部分基本未知量是节点位移，另一部分基本未知量是节点力。 *8.有限元法的分析过程(续)、有限元位移法的计算过

15、程的系统性、规律性强，尤其适合编程的解决。 一般来说，板壳问题的有限元除了应用一定量的混合法外，其馀都采用有限元位移法。 因此，一般不做特别的宣言，但有限元法是指有限元位移法。 有限元分析的后处理主要包括计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。 将通过有限元分析得到的数据转换为设计者直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，通过绘制直观的图形，有助于设计者的快速评价和设计方案的验证。 *8.有限元法解析过程(续)，9 .有限元法的收敛概念和收敛条件，有限元法是数值解析方法，应该考虑收敛性问题。 有限元法的收敛性是指，网格逐渐加密后，有限元解的序列会收敛到正确的解，或者单元尺寸固定

16、时，各单元的自由度越大，有限元的解答就越接近正确的解。 有限元的收敛条件包括1 )单元格内的位移函数是连续的。 由于多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数可确保在单元格中的连续性。 2 )在单元格内，位移函数必须包含常应变项。 每个单元格的应变状态可以分解为一般应变，一般应变与单元格中各点的位置无关，而变量应变则由各点的位置决定。 如果单元的尺寸足够小，则单元中的每个点的失真相等，并且单元中的失真相对均匀，因此通常失真成为失真的主要部分。 要反映单元格的应变状态，单元格位移函数中必须包含常应变项。 9 .有限元法的收敛概念和收敛条件(续)，3 )在单元内，位移函数必须包含刚体位移项。

17、 通常，单元中任意点的位移包括变形位移和刚体位移两部分。 因为变形位移关系到物体的形状和体积的变化，所以发生变形的刚体位移只是改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不变形的位移。 空间物体包括3个平移位移和3个旋转位移，共计6个刚体位移成分。 因为一个单元涉及其他单元，所以在其他单元变形时一定要使单元刚体位移，所以为了模拟一个单元的实际位移，假定的单元位移函数中必须包含刚体位移项。 9 .有限元法的收敛概念和收敛条件(续)，4 )位移函数必须在相邻小区的公共边界上协调。 在一般小区中，协调是指相邻的小区在公共节点处具有相同的位移并沿小区边界具有相同的位移，即，确保没有小区的相互脱

18、离破裂或相互入侵重叠。 为了实现此目的，要求函数可以通过公共节点的函数值来唯一地确定。对于一般小区，协调性确保相邻小区的边界位移的连续性。 但是，在板壳的相邻小区之间，要求位移的一次导数是连续的，仅此就保证结构的应变能是极限量。 9 .有限元法的收敛性概念和收敛条件(续)，总的来说，协调性是指在相邻单元的共同边界处满足连续性条件。 前三个称为完整性条件，满足完整性条件的单元被称为完整性单元。第四条为协调性要求，满足协调性的单元不被称为协调单元，则被称为非协调单元。 完整性的要求是收敛的必要条件，满足所有四个条件，构成收敛的充分的必要条件。 在实际应用中，所选位移函数很难满足所有的完整性和协调性要求，有时可放松对协调性的要求。 应当指出，有限元