余弦定理（课堂使用）

1、正弦定理：,可以解决两类有关三角形的问题?,（1）已知两角和任一边。,（2）已知两边和一边的对角。,变型：,复习回顾,余弦定理,莘县一中高一数学组,教学目标,1、了解用向量法证明余弦定理的过程 2、能够从余弦定理得到它的推论 3、掌握用余弦定理及推论解三角形,C,B,A,c,a,b,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， a, b,求边 c.,设,由向量减法的三角形法则得,C,B,A,c,a,b,余弦定理,由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， a, b,求边 c.,设,向量法,余弦定理,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的

2、两倍。,利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？,归纳,利用余弦定理，可以解决： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。 （3）判断三角形的形状。,余弦定理,已知三边,怎样求三个角呢？,推论：,思考1：,一、已知三角形的两边及夹角求解三角形,变式：,例2、在ABC中，已知a= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C).,解：由余弦定理得,二、已知三角函数的三边解三角形,变式：,由推论我们能判断三角形的角的情况吗?,推论：,思考2：,已知三角形形状， 讨论边的取值范围。,已知三角形形状，讨论边的取值范围。,2 当ABC直角三角形时（cab）,当ABC

3、为钝角三角形时（cba）,当ABC为锐角三角形时（cba）,当ABC为锐角三角形时,例3、在ABC中，若 ， 则ABC的形状为（ ）,、钝角三角形 、直角三角形 、锐角三角形 、不能确定,那 呢?,三、判断三角形的形状,三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ）,、钝角三角形 、直角三角形 、锐角三角形 、不能确定,a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。,思考：,判断三角形的形状,课前热身,答案：A,例4 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB,证明由余弦定理知： ，,右边=,练习.在ABC中，已知 ,判断三角形的形状。,解(略

4、)等腰三角形或直角三角形,练习,2，在ABC 中，已知 （a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC, 判断三角形的形状。,1、在ABC中，cosAcosBsinAsinB,则ABC为 A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形,C,（事实上，C为钝角，只有C项适合）,2、在ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于 A、30o B、60o C、120o D、150o,C,A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形,D,巩固提高,等腰三角形,5、在ABC中，A、B均为锐角，且c

5、osAsinB,则ABC是_,钝角三角形,等腰三角形,锐,答案：C,能力提高, ,1.三角形形状的判断思路 判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断. (1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； (2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； 利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.,作业,利用正、余弦定理判断三角形的形状,例1 在ABC中，若(a2

6、b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状 自主解答 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)， b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)， 2sin Acos Bb22cos Asin Ba2， 即a2cos Asin Bb2sin Acos B. 法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B， sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B， 又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B， sin 2Asin 2B.,综合训练,作业,（三维）,2 (2010辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状,思考：,已知两边及一边的对角时，想一想如何来解这个三角形？ 如：已知b=4,c= ,C=60