《点 线 平面位置关系》

1、点点 线线 平面位置关系平面位置关系 平面平面 1平面的特点：“平”、“无限延展”、“无厚薄”. 2平面的画法：通常画平行四边形来表示平面,被遮部分的线段画成虚线或不画。 注意：水平平面画两横边，横边为邻边的两倍，锐角画成 45；直立平面画两竖边 3平面的表示法 希腊字母 、 前面加“平面”二字，如平面 等，且字母通常写在平行四 边形的一个锐角内 用平行四边形的四个字母表示，如平面 ABCD 用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 AC 4点、直线、平面之间的基本关系： 把直线、平面看成是点的集合，借用集合中的 符号语言来表示, 读法上仍用几何语言 练习：观察图形，用模型来说明它们

2、的位置有什 么不同，并用字母表示各平面 附注：讲评时，用书作示意，对直 线的可见部分与不可 见部分加以区别对可见棱与不可见棱加以区 别 练习：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： （1）点 A 在平面 内，但不在平面 内； （2）直线 a 经过不属于平面 的点 A，且 a 不在平面 内； (3) 平面 与平面 相交于直线 l，且 l 经过点 P；（4）直线 l 经过平面 外 一点 P，且与平面 相交于点 M 平面的基本性质平面的基本性质 公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面 内 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线 用集合符号表示： (证

3、线、点在面内依 C ABC ABBA, 据) 公理公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 用集合符号表示：P, P 与 必相交 (证两平面相交依据) (证点在面内依据)aPaPP, 公理公理 3： 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论推论 1： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 “有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面” 推论推论 2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图 6） 推论推论 3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图 7） 应用平面的基本性质证明空间点和直线的共面问题 例：两两相交且不过同一点的三条

4、直线必在同一个平面内（如图 8） 已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C 求证：直线 AB，BC，AC 共面 方法：证“空间的点、直线共面”可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它的元 素也在这个面内 小结：证“直线在平面内”只要证直线上有两点在平面内； 证“两个平面相交”只要证两平面有一个公共点； 证“点在平面内”可证该点在平面内的一条直线上； 证“点在直线上”可证点为两平面公共点, 直线上为两平面交线； 例：ABC 三边延长线与平面 分别交于 D、E、F，求证：D、E、F 在一条直线上. 。 例：三平面 、 相交如图, A、B, C, 试作出过 ABC 三点的平面与 、 的交线.

5、 公理公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行bc ac ba / / / 例：在正方体 ABCDA1B1C1D1中 （1）AB 与 C1D1是什么位置关系？为什么？ （2）A1D1与 BC 是什么样的位置关系？为什么？ （3）如果 M、N 分别为 B1B、C1C 的中点，问 A1D1与 MN 是什么位置关 系？ （4）AC 与 A1C1是什么位置关系？为什么？ （5）AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？ 例： 梯形 ABCD 沿中位线 EF 折起成空间图形 ABEC1D1F, 求证： AD1, BC1所在直线相交(记交点为 P)； 设 AD、BC 交于 R, EC1、FD1交于 Q,

6、 则 P、Q、R 三点共线. 等角定理：等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同, 则这两个角相等. 证明：构作两个三角形, 证全等. A B C 。 。 a b O O b a A B C D E F C1 D1 P Q R 思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反呢？ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组对应边同向另一组对应边 反向呢？ 推论：推论：两条相交直线与另两条相交直线分别平行, 则两组相交直线所成的锐角或直角相等 注意：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用 (1)“垂直于同一直线的两直线平行”在立体几何中不成立

7、(2) “两组对边相等的四边形是平行四边形”在立体几何中不成立 (3) “四边相等的四边形是菱形”在立体几何中不成立 (4) “三个角是直角的四边形是矩形”这个平面几何中的定理在立体几何中也不成立， 可以发现“空间四边形四内角和小于 360”这是立体几何中的一个定理 7空间两条直线的位置关系 (1)基本性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 (2)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么 这两角相等 (3)异面直线的定义：空间两条既不平行也不相交的直线叫做异面直线. 注1：两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在

8、任何一个平面内. 空间两直线的位置关系 按平面基本性质分 （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线 （2）不同在任何一个平面内：异面直线 按公共点个数分 （1）有一个公共点: 相交直线 （2）无公共点：平行直线、异面直线 8.空间直线与平面的位置关系 直线与平面无公共点，即直线与平面平行 线与平面有一个公共点直线与平面相交 直线上所有的点都在平面内直线在平面内 9.空间平面与平面的位置关系 两个平面无公共点，即两个平面平行 两个平面有一公共直线两个平面相交 典型题型 类型一 公理应用 例 1、表示不同的点，、 表示不同的直线，、表示不同的平ABCal 面，下列推理不正确的是 （ ） ( )Al

9、BlBAlA, ，直线( )BAA,ABBB, ( )CAlAl, ，且不共线与重合()DCBA,CBA,CBA, 例 2下列命题是真命题的是( ) A空间中不同三点确定一个平面 B空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C一条直线和一个点能确定一个平面 D梯形一定是平面图形 例 3.正方体 ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1的中点，那么， 正方体的过 P、Q、R 的截面图形是( ) A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 审题视点 过正方体棱上的点 P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交线 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两 个公共

10、点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以 更快的确定交线的位置 例 4.下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点， 则四个点共面的图形是_ 类型二 线线位置关系 例 1.如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 审题视点 第(1)问，连结 MN，AC，证 MNAC，即 AM 与 CN 共面；第(2)问 可采用反证法 证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法(不易操作) (2)反证法：先假设两条直线不

11、是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条 件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 例 2.在下图中，G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 直线 GH、MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 例 3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直 线( ) A12 对 B24 对 C36 对 D48 对 例 4.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系 是 A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面 例 5.已知 a、b 是异面直线，ca，那么 c 与 b（ ） A

12、.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 类型三 线面位置关系 例 1.判断正误： (1)若直线 l 上有无数个点不在平面 a 内，则 l / a (2)若 l / a,则直线 l 与平面 a 内任一条直线都平行 (3)若 l / a,则直线 l 与平面 a 内无数条直线都平行 (4)若 l / a ，则直线 l 与平面 a 内任意一条直线都没有公共点 (5)若 l / a，则直线 l 上的任意点到平面 a 的距离都相等 (6)若直线 l 上存在两点到平面 a 的距离相等，则 l / a 例 2.若直线 a 不平行于平面，则下列结论成立的是（ ） A.

13、 内所有的直线都与 a 异面； B. 内不存在与 a 平行的直线； C. 内所有的直线都与 a 相交； D.直线 a 与平面有公共点. 例 3.已知直线 a/平面，平面/平面，则 a 与的位置关系为 . 例 4已知直线 a直线 b, a/平面,则 b 与的位置关系为 类型四 面面位置关系 例 1判断正误： （1）平面/平面，则平面上存在 3 个不共线的点到的距离相等； （2）平面上存在 3 个不共线的点到的距离相等，则平面/平面； （3）平面/平面，平面/平面，则平面/平面； 例 2两个不重合的平面可以把空间分成_部分 例 3下列四个说法 a/，b,则 a/ baP，b，则 a 与 b 不平行 a，则