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文档简介

1、1,例1. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2,例2. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,3,例3. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求面积为,思考: 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积 .,答案:,二、体积,7,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,8,例2计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),9,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时,

2、就得半径为a 的球体的体积,14,例5. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,15,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,注,16,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),17,柱壳体积,说明:,柱面面积,18,偶函数,奇函数,21,例7 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,22,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为

3、,例8.,若选 y 为积分变量, 则,23,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,取侧面积元素:,24,侧面积元素,的线性主部 .,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意:,侧面积为,25,例9. 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式,26,例10. 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S .,解: 利用对称性,绕 x 轴旋转,27,星形线,星形线是内摆线的一种.,点击图片任意处 播放开始或暂停,大圆半径 Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时, 小圆上

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