平面向量的正交分解坐标表示

1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示 及坐标运算,平 面 向 量,1理解向量的坐标表示 2掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量 的坐标运算,基础梳理,一、平面向量的坐标表示 1平面向量的正交分解：把一个向量分解为_叫做把向量正交分解 2在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得_这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作_，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的

2、坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示,1.两个互相垂直的向量 2.axiyj a(x，y),3几个特殊向量的坐标表示 i_，j_，0=_. 4以原点O为起点作向量 ，设 xiyj，则向量 的坐标(x，y)，就是_；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是_,3(1,0) (0,1) (0,0) 4.终点A的坐标 向量 的坐标,思考应用,1点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？,解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关； (2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标

3、,二、向量的坐标运算 1两个向量和差的坐标运算 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_； ab_. 2数乘向量和坐标运算 若a(x，y)，则a_. 3向量 的坐标表示 若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 _.即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_,1.(x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) 2.(x，y) 3(x2x1，y2y1) 终点的坐标减去始点的坐标,思考应用,2向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？,解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量 经过平移以后得到向量 ，这两个向量

4、的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关,自测自评,1若向量(x，y)0，则必有( ) Ax0或y0 Bx0且y0 Cxy0 Dxy0,B,D,3已知a(3,1)，b(1,2)，c2ab则c( ) A. (6,2) B.(5,0) C. (5,0) D.(0,5),4若点A (2,1) ，B(1,3)，则 _.,B,(3,2),平面向量的坐标运算,已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab，3a4b.,点评：(1)实

5、数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标 (2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差),跟踪训练,用方程思想求向量坐标,已知ab (2,-8),ab (8,16),求a和b.,分析：设a(m，n)，b(p，q)，则问题就可转化为方程思想解决,点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解决，解法一侧重以坐标为主体的方程；解法二是整体思想，解向量方程,跟踪训练,2已知a(2,1)，b(3,4)，c(6,19)，用a，b，表示c.,平面向量的坐标表示,分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识，求解时首先由点A、B、C、D的坐

6、标求得向量 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式 再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数,点评： 坐标运算要熟记公式，始点和终点的前后顺序不可颠倒，否则会出现错误,跟踪训练,分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算问题已给出A、B、C三点的坐标，因此可写出向量 的坐标，进而利用向量的数乘、加、减的坐标运算，问题就可得解,平面向量坐标在几何中的应用,已知平面上三点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点,点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标，是一种最基本的方法,跟踪训练,4.已知平面上三点的坐标分别为A(1,2)，B(3，1)，C(5,6)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点,C,C,1要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数