债券组合市场VaR度量

1、第17章 债券组合市场VaR度量,清华大学经管学院 朱世武 Zhushw Resdat样本数据： SAS论坛： ,债券市场VaR,VaR是指这样的一种损失额，给定置信水平 （1- %）和持有期限（t日），在持有期内预计超 过这一损失额的概率只有 %。用公式表示为， VaR度量的是头寸价值的潜在变动。 影响债券价格的因素是即期利率，称为风险因子。,使用到期收益率计算VaR,债券价格等于预期现金流的现值。 (17.1) t为现金流时刻， 为t时刻的现金流， 为该债券的到期收益率。 到期收益率上升，债券价格下跌； 到期收益率下降，债券价格上涨。,单只债券VaR,假设到期收益率的变动服从均值为0，标准

2、差为 的正 态分布，则给定置信水平 , 最不利情形下的到期收益 率为， 为实际的到期收益率，l是所选置信水平1- %（如 ）所对应的分位数（如1.65，SAS函数值为l=probit(.95)）。 利用这个到期收益率和公式（17.1）计算出未来的债 券价格。则一年期的VaR为， T年期的VaR为，,例17.1 一只5年期，面值100，年息和到期收益率均为5%的政府债券（意味着债券的现价为100 ）。假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为1%的正态分布。计算95%置信水平下，该债券的一年期VaR。 解：95%置信水平下的最不利YTM为， 若到期收益率变为6.65%，债券价格就会跌到93.77

3、。则该债券的VaR为，,五年的VaR为，,SAS程序： %macro bVaR(Par,P,alpha,YTMr,sigma,T); proc iml; l=probit(1-,债券组合,考虑一债券组合，由n个债券组成，每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵, 计算它的协方差矩阵与相关系数矩阵,假如投资在某债券上的资金为 （ 为该债券的持有数量），则该债券VaR为， 全部VaRi构成债券组合的VaR向量为， 于是，该债券组合的VaR为，,例17.2 考虑2只债券构成的组合, 一只为例1中的债券，另外一只为2年期，年息3%的政府债券，到期收益率为4%，于是，可算出该债券的实际价格为98.11，

4、再假设该债券的到期收益率变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。 解：对于新增债券，95%置信水平下的最不利YTM为， 若到期收益率变为5.97%，债券价格就会跌到94.36。则债券的VaR为，,若组合中这两只债券到期收益率相关系数为1，则价值为 的未分散组合的 。但通常5年期政府债券的到期收 益率与2年期政府债券的到期收益率只是高度相关，并非完全相关。假设相 关系数为0.95，则组合的 。这 体现出了分散化投资会带来收益 。,SAS程序： 对于债券i进行如下过程：,组合的一年期风险值为：,组合的T年期风险值为：,data gendat; i

5、nput P sigma YTMr V Par; /*数据集gendat包含每个债券的现在价格()，到期收益标准差()，实际到其收益率()，债券的持有数量()，债券面值() */ cards; 100 0.01 0.05 1 100 98.11 0.012 0.04 1 100 ; data corrmat; /*数据集corrmat包含所有的债券的相关系数矩阵 */ input c1 c2; cards; 1 0.95 0.95 1 ; %macro mbVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T); /* n为组合债券的数量，T为风险值的期限，为置信水平 */ proc im

6、l; use ,read all var V into V; read all var Par into Par; use ,使用久期计算VaR,麦考利久期与修正久期 债券久期衡量的是债券价格相对于到期收益率变动的敏感性。 麦考利久期定义为， 久期可用于估计债券价格相对于到期收益率的变动幅度。债券价格对到期收益率求一阶导数得，,两边同乘以 得 称为修正久期，它度量了给定到期收益率的变化水平，债券价 格变动的百分比。 （17.3）式可变形为： 可以看出，价格变动表示为到期收益率变动的线形函数。,VaR计算,单只债券 对于单只债券，假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为 的正态分布，则给定置信

7、水平 ，最不利情形下的到期收益率变动为， l是所选置信水平 （ 如 ）所对应的分位数（如1.65）。 利用到期收益率的变动和公式（1.4）就可以计算出未来的债券价格变化量。则一年期的VaR为， T年期的VaR为，,例17.3. 假定一债券的价格为100，修正久期为4.33，到期收益率变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。给定95%置信水平下，计算一年期VaR。 解：最不利的情形下，到期收益率的变动量为， 所以债券价格变化量为， 也就是说价格会下降8.66，即预测价格为,SAS程序： %macro mdursbVaR(alpha,sigma,Dm,P,T); proc iml; l=pr

8、obit(1-,债券组合,考虑一债券组合，由个债券组成，每种债券到期收益率的历史数据形成如下矩阵， 据此，可以计算它的协方差矩阵,和相关系数矩阵,假如投资在某债券上的资金为 （ 为该债券的持有数量），则 该债券VaR为, 全部VaRi构成债券组合的VaR向量, 于是，该债券组合的VaR为， T年期的VaR为，,例17.4 假设组合P包含两只债券。第一只为上例中的债券。假定第二只债券的价格为98.11，修正久期为5，到期收益率变动服从均值为0，标准差为1%的正态分布。假定这两只债券之间的相关系数为0.95，计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。,解：,SAS程序： data gendat

9、; input P sigma V Dm; cards; 100 0.012 1 4.33 98.11 0.01 1 5 ; data corrmat; input c1 c2; cards; 1 0.95 0.95 1 ;,%macro mdurmbVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T); proc iml; use ,使用久期与凸性计算VaR,久期反映了价格与到期收益率之间的线形关系，给定到期收益率的变动幅度，无论上升还是下降，久期方法计算出的价格涨跌是对称的。但由于因收益率变动而引起的价格涨跌存在不对称性，所以价格与收益率之间并非完全线性，因此引入凸性的概念。凸性衡量

10、的是价格与收益率之间的曲线关系，用公式表示如下， 凸性导致的价格变动（凸性效应）为（参见下页PPT）,VaR计算,单只债券 对于单只债券，假设到期收益率的变动服从均值为0，标准差为 的正态分布，则给定置信水平 ，最不利情形下的到期收益率变动为， 是所选置信水平 （如 ）所对应的分位数。 利用这个到期收益率的变动和公式（17.5）就可以计算凸性效应引起的债券价格变化量。 则一年期的VaR就等于， T年期的VaR为，,例17.5. 假定一债券的价格为，修正久期为4.33，凸性为26.3894。到期收益率的变动服从均值为0，标准差为1.2%的正态分布。计算95%置信水平下，该债券的一年期VaR. 解

11、：给定95%置信水平，最不利的情形下到期收益率的变动量为， 则久期效应引起的债券价格变化量为, 凸性效应引起的债券价格变化量为， 所以一年期的VaR为，,SAS程序： %macro convsbVaR(alpha,sigma,Dm,P,cv,T); proc iml; l=probit(1-,债券组合,债券组合的VaR计算和前面17.2.2中方法类似，只是有一点变动， 全部 构成债券组合的VaR向量 于是，该债券组合的VaR为， T年期的VaR为，,例17.6假设组合P包含两只债券。第一只为上例中的债券。假定第二只债券的价格为98.11，修正久期为5，凸性为30.1234，到期收益率变动服从均

12、值为0，标准差为1%的正态分布。假定这两只债券之间的相关系数为0.95，计算95%置信水平下，债券组合的一年期VaR。,data gendat; input P sigma V Dm Cv; cards; 100 0.012 1 4.33 26.3894 98.11 0.01 1 5 30.1234 ; data corrmat; input c1 c2; cards; 1 0.95 0.95 1 ; %macro convmbVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T); proc iml; use ,l=probit(1-,使用RiskMetrics现金流计算VaR,债券分解

13、 前面介绍过用到期收益率为债券定价，隐含着这样一个假定，即每一时点的即期利率都为相同的到期收益率（也就是所支付的利息又以同样的到期收益率水平再投资）。通常，事实并非如此，实际中的即期利率是随时间变化的。但对于零息债券，即期利率与到期收益率是相同的。零息债券在期限内不支付利息，这样就避免了利息再投资问题。 把债券分解为一系列零息债券，用合适的贴现因子即期收益率来把这些现金流折现，就可以更准确地为债券定价。,即期收益率,即期收益率就是一给定期限上的现金流的贴现率，只要市场上发行有不同期限的零息债券，利用该零息债券的市场价格就可以推导出即期收益率曲线。由于各种期限的零息债券并非一定会在市场上发行，所

14、以若市场中不存在某一期限的零息债券，该期限对应的即期收益率必须用其他方法推导。下面举例说明。 假设市场上有1年期和2年期的零息债券，据此可以推导出1年期和2年期的即期收益率为4%和5%。但不存在3年期的零息债券，为推导3年期的即期收益率，需要找一只3年期的付息债券。假设市场上有一只票面利率为5%的3年期债券，市场价格为98.5。可以得出如下式子， 其中 为3年期的即期收益率。 这样就可以计算出3年期的即期收益率 。,一旦得知所有期限的即期收益率，就可以通过即期收益率进行现金流贴现计算出债券价格，进而算出该债券的VaR。但是测算所有期限的即期收益率本身就有一定的难度，而且计算VaR时还需要测算出

15、这些即期收益率的标准差和相关系数矩阵，这给VaR的计算带来很大不便，基于简化计算难度，RiskMetrics引入现金流映射来解决这个难题。,现金流映射,14种RiskMetrics 标准期限: 1m ,3m ,6m ,12m ,2yr ,3yr ,4yr ,5yr , 7yr ,9yr ,10yr ,15yr ,20yr ,30yr 若一笔现金流没有对应的标准匹配期限，则需要需要把该现金 流分配在两个相邻的标准期限上。两个相邻标准期限上的现金 流被分配的权重要满足下面三个条件： 1. 市场价值不变：RiskMetrics现金流的总市场价值与初始现金流的市场价值相等； 2. 市场风险不变：Ris

16、kMetrics现金流的风险与初始现金流的风险一样； 3. 符号不变 ：RiskMetrics现金流的符号与初始现金流的符号相同。,下面说明把初始现金流转化为RiskMetrics现金流的步骤. 假设一债券组合在未来第6年产生正的现金流，于是，相近的标准期限为5年和7年。5年和7年的即期收益率及其波动性和相关系数分别是 假设权重分别为 和 ， ，初始现金流转化为RiskMetrics现金流的具体步骤如下。 1. 根据5年和7年的即期收益率，用线形插值法计算6年期的即期收益率。由于第6年到第5年和第7年距离相等，所以取简单平均， 2. 计算初始现金流的现值（不妨设初始现金流为1）， 3. 计算初

17、始现金流的波动性（标准差），,4. 从下面的等式计算出各自的权重， 简化上式为， 其中 解得， 该方程有两个解，但第一个解不满足条件 （即条件3符号不变），所以选 。把6年期初始现金流的现值（0.9374）分成两个部分，其中的 分配给5年期， 分配给7年期。最后得到两笔标准期限现金流，与初始现金流具有相同的现值、风险和符号。,上面的例子介绍了怎样把一个简单的现金流映射成RiskMetrics现金流。在实际中，债券组合产生大量的现金流，其中的每一个都用上面的方法进行映射，这样就会得出组合的RiskMetrics现金流。 计算出债券组合的RiskMetrics现金流后，结合RiskMetrics提

18、供的标准期限的收益率，就可以利用前面介绍过的方法计算出债券组合的VaR。,SAS程序 %macro cf(alpha,r5,r7,s5,s7,r57,Par); proc iml; l=probit(1-,考虑面值回归效应的VaR计算,面值回归 ： 债券的一个显著性质是，随着到期期限的临近，它的价格会收敛到面值，这就是债券的“面值回归”。这种“面值回归”效应导致债券价格的波动性随到期日的临近而逐渐下降，最终收敛到0，称之为“波动性逐降”效应。这些效应在前面介绍的几种VaR计算方法中并未考虑到，所以会引起VaR估计的失真。,VaR计算,面值回归效应导致高估风险，举例说明如下：假设有一个1年期，面

19、值为100的零息债券。1年期的即期收益率为9%，该零息债券价格的日变化量服从均值为0，标准差（波动性）为0.05%的正态分布。 零息债券现在价格为， 于是，95%的置信水平下，1年期VaR为， 这显然高估了该债券的风险，因为无论即期收益率和波动性处于何种水平，在到期日，债券价格都会等于面值100（面值回归效应），所以VaR应等于0，而不是1.45。,要合理估计VaR，就必须把面值回归效应，及其引起的价格波动性逐降效应考虑进来。可采取如下的方法计算发生在未来T天后的现金流的t天风险值。 （1）选取新的贴现率计算债券价格。利用 期限的即期收益率 ，将T天后发生的现金流折现，记现值为 ； （2）选取

20、新的波动性计算风险值。利用 期限的债券价格波动性 求出VaR为， 例如计算上例中债券6个月的VaR，需要选取6个月（ ）的即期收益率 ，和6个月期零息债券的波动性 。,例17.7 假设有一个1年期，面值为100的零息债券。1年期的即期收益率为9%，该零息债券价格的日变化量服从均值为0，标准差（波动性）为0.05%的正态分布。在95%的置信水平下，计算该债券6个月的VaR。,解：,SAS程序： %macro pullpar(alpha,YTMr,t1,t2,sigma,Par); proc iml; l=probit(1-,模拟法,前面介绍的方法基于对收益率变动量的正态分布假设，即 . 在蒙特卡

21、罗模拟中，可以对收益率进行更灵活的假设，然后基于随机生成的收益率过程来考察债券价格的变动轨迹。当然也可以直接对债券价格进行建模，蒙特卡罗模拟法的结果依赖于对模型的假设。,蒙特卡罗模拟模型,模型1：为了保证价格不会出现负值的情况，利用价格 的对数 来建模。 由上式得， 这就保证了 的非负性。 服从正态分布，则 服从对数正态分布。 模型1隐含这样的假设，即 不随时间变化。若放松这个假设后得到下面模型2。,模型2： 前面两个模型都是对债券价格进行建模的。这类模型存在一个缺陷，忽略了债券价格的面值回归现象。即随着债券到期日的临近，债券价格会收敛到它的面值，从而债券价格的波动性也会收敛到0。下面利用债券收益率 的对数 来建模。除了面值回归现象以外，利用收益率的对数形式而不是价格的对数形式建模的另外一个好处在