第3章 轮廓加工的数学基础.ppt

1、第三章 轮廓加工的数学基础,数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系列加工点、用基本线型拟合，完成所谓的数据“密化”工作。 插补有二层意思： 用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）； 用基本线型拟合其它轮廓曲线。 插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。插补原理也叫轨迹控制原理。五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。,插补方法,脉冲增量插补 特点： 每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，移动部件相应移动一定的距离，该距离称为脉冲当量。以一个一个脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。脉冲增量插补方

2、法有：逐点比较法、数字积分法等。 插补速度与进给速度密切相关。因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10m时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是3-4 m/min。,插补方法,脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也有用软件来完成这类算法的。 这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积分法；目标点跟踪法；单步追综法等 它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。 由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。,插补方法,数据采样插补： 特

3、点： 据编程的进给速度计算出每个插补周期的进给直线段，称轮廓步长，然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的进给量），作为指令发给伺服驱动装置。其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。 插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达 10m/min以上）。,插补方法,数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。 这类插补方法有：二阶近似插补法、双DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。 这类插补算法主

4、要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。,第一节 逐点比较法,这是早期数控机床广泛采用的方法，适用于步进电机控制系统。 原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹的上方或下方，或给定轨迹的里面或外面，决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。每个插补循环由偏差判别、方向进给、偏差计算和终点判别四个步骤组成。 逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲线插补。 特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲

5、输出均匀，调节方便。,一 直线插补,1 偏差计算公式 对于第一象限直线AB，直线方程为 (X-X0) / (Y-Y0)=(Xe-X0) / (Ye -Y0 ) 取偏差判别式 F= (Y-Y0) (Xe-X0) - (X-X0) (Ye -Y0 ) 若F= 0，表示加工点位于直线上； 若F 0，表示加工点位于直线上方； 若F0，应沿+X方向 进给一步，走一步后新的坐标值为 Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi 新的偏差为Fi+1= (Yi+1-Y0) (Xe-X0) - (Xi+1-X0) (Ye -Y0 ) = (Yi-Y0) (Xe-X0) - (Xi+1-X0) (Ye -Y0 ) = (Y

6、i-Y0) (Xe-X0) - (Xi-X0) (Ye -Y0 ) - (Ye -Y0 ) =Fi- (Ye -Y0 ),一 直线插补,设某加工点Pi处，Fi0，表示加工点位于圆外； 若Fi0，表示加工点位于圆内。,二 圆弧插补,2 偏差函数的递推计算 若F0， Mi点在圆外侧或圆上，这时向-X方向走一步， 则Mi+ 1点对圆心O点的坐标为 Ii+1=Ii-1，Ji+1=Ji 新的偏差为Fi+1= Ii+12+Ji+12- R2 = (Ii-1) 2 + Ji2- R2 = Ii2+Ji2- R2-2Ii+1 =Fi-2Ii+1,二 圆弧插补,若F0， Mi点在圆内侧，这时向Y方向走一步， 到

7、Mi+1点，该点对圆心O点的坐标为 Ii+1=Ii，Ji+1=Ji+1 新的偏差为Fi+1= Ii+12+Ji+12- R2 = Ii2 + （Ji+1）2- R2 = Ii2+Ji2- R2+2Ji+1 =Fi+2Ji+1,二 圆弧插补,3 终点判别 1）判断插补或进给的总步数； 2）当Ie-Ii=0，Je-Ji=0时到达了终点。,二 圆弧插补,4 不同象限插补运算 无论象限，无论逆弧、顺弧，判别式有以下四种情况： 1）沿+X方向走一步 Ii+1=Ii+1 Fi+1= Fi+2Ii+1 2）沿-X方向走一步 Ii+1=Ii-1 Fi+1= Fi-2Ii+1 3）沿+Y方向走一步 Ji+1=J

8、i+1 Fi+1= Fi+2Ji+1 4）沿-Y方向走一步 Ji+1=Ji-1 Fi+1= Fi-2Ji+1,四个象限的进给方向,二 圆弧插补,象限是以被加工圆弧圆心为原点的坐标系划分的。若编写零件加工程序时所用的坐标系不以圆心为原点，则象限划分就不能用这个坐标系。以圆心为原点的坐标系是根据加工程序给出的已知条件自动建立的，圆弧加工完毕，坐标系自动取消。即在插补计算过程中不断算出的Ii、Ji值，都是以圆心为原点坐标系中的坐标值。根据Ii、Ji的符号来判别圆弧所在的象限，如下表。过象限时的标志是Ii、Ji中的一个是零。,象限判别和电机转向表,二 圆弧插补,5 逐点比较法圆弧插补举例 对于第一象限

9、圆弧AB，起点A(4，0)，终点B(0，4)。,逐点比较法直线插补举例,第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4。,逐点比较法圆弧插补举例,第一象限圆弧AB，起点A(4，0)，终点B(0，4)。,A,B,Y,X,逐点比较法圆弧插补举例,第一象限圆弧AB，起点A(4，0)，终点B(0，4)。,第二节 数字积分法,数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital differential Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。 数字积分法的优点是，易于实现多坐标联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线的插补，并具有运算速度快等特点，应用广泛。,一 DDA直线插补,1

10、 原理： 直线方程 则 X、Y方向的位移 （积分形式） 积分的过程可以用微小量的累加近似,一 DDA直线插补,（累加形式） 由此关系式表明，可用两个累加器来完成平面直线的插补计算，它们分别对Xe、 Ye进行累加，累加器每溢出一个脉冲，指令相应的坐标进给一步，则机床进给运动的轨迹就是趋近于OA的折线。 当累加m次以后，X轴和Y轴所走过的步数就正好分别等于各轴的终点坐标Xe、Ye。令t =1，则mK =1。,一 DDA直线插补,2 累加次数的确定 为保证插补精度，选择K时，主要考虑每次增量X 、 Y小于1 即 X=KXe1 Y=KYe1 设函数值寄存器有N位，则存储器的最大值为2N -1，则 K（

11、 2N -1 ）1 即 K 1/ （ 2N -1 ） 一般取K= 1/ 2N 。 因为Km=1，因此累加次数m=2N 。,一 DDA直线插补,3 累加器、寄存器位数的确定 为保证每次累加最多只溢出一个脉冲，累加器的位数和Xe、Ye寄存器的位数应相同，其位长取决于最大加工尺寸。 如Xe=32.000mm，Ye=65.000mm，若脉冲当量为0.001mm，则X向的脉冲数为32000，Y向的脉冲数为65000 寄存器的位数应按65000来取，65000=FDE8H，因此应取16位累加器、寄存器。,一 DDA直线插补,5 左移规格化处理 如Xe=101B，Ye=10B，则取JX、 JRX、 JY、

12、JRY为8位的，须进行28累加才能溢出正确的脉冲数，在这28次累加中，只有最后的8次累加才有相应的溢出脉冲，效率低。 左移规格化处理：把数值较大的有效位移动到被积函数寄存器的最左端，使它们占据最高位。 这时只需累加8次，就可得到预定的结果，提高了运算效率。,一 DDA直线插补,6 数字积分插补原理框图 组成：X积分器、Y积分器和计数器，每个积分器都由被积函数寄存器和累加器组成。 初始时：JX寄存器存Xe， JY寄存器存Ye，累加器复位。 终点判别：累加次数、即插补循环数是否等于2N作为直线插补判别终点的依据。,一 DDA直线插补,7 DDA法直线插补举例 插补第一象限直线OA，起点为O（0，0

13、），终点为A（5，3） 取被积函数寄存器分别为JX、JY，累加器分别为JRX、JRY，终点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。,一 DDA直线插补,二 DDA法圆弧插补,1 原理 圆弧的参量方程为 Ii=Rcost Ji=Rsint 在P点刀具沿各坐标方向的速度分量为 Vx=dIi/dt=-Rsint= -Ji Vy=dJi/dt=Rcost=Ii 则 dIi= -Jidt dJi=Iidt 用累加代替积分 Ii= -Jit Ji= Ii t 圆弧插补时，是对切削点的即时坐标Ii与Ji的数值分别进行累加 。,2 圆弧插补器简图 1) 各累加器的初始值为零，各寄存器为起点坐标值； 2) X函数寄

14、存器存Ji ,Y寄存器存Ii，为动点坐标； 3) Ii 、 Ji在积分过程中，产生进给脉冲X、Y时，要对相应 坐标进行加1或减1的修改； 4) DDA圆弧插补的终点判别要有二个计数器，哪个坐标终点到了， 哪个坐标停止积分迭代。,二 DDA法圆弧插补,寄存器的容量由圆的半径来决定。 左移规格化处理 如R=30mm，脉冲当量为0.01mm，则R的脉冲数为3000，十六进制数为BB8，字长12位，若寄存器、累加器为16位时，左移位数为4。,二 DDA法圆弧插补,二 DDA法圆弧插补,3 DDA圆弧插补举例,第三节 时间分割插补原理,1 时间分割插补的基本原理 与基准脉冲插补法不同，该插补法得出的不是

15、进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。这种方法是根据程编进给速度F，将给定轮廓曲线按插补周期T（某一单位时间间隔）分割为插补进给段（轮廓步长），即用一系列首尾相连的微小线段来逼近给定曲线。每经过一个插补周期就进行一次插补计算，算出下一个插补点，即算出插补周期内各坐标轴的进给量，如X、 Y 等，得出下一个插补点的指令位置。,第三节 时间分割插补原理,2 插补周期和采样周期 插补周期：是插补程序每两次计算各坐标轴增量进给指令间的时间。插补计算误差与插补周期是成正比的，插补周期越长，插补计算误差越大。因此，从减少插补计算误差角度考虑，插补周期应选的尽量短。但另一方面，由于数控系统进行轮廓控制时，CPU

16、除了要完成插补运算外，还必须实时的完成一些其他的工作，如显示、监控等，因此，插补周期必须大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和 。现代数控系统一般为24ms，有的已达到零点几毫秒。,第三节 时间分割插补原理,采样周期：指坐标轴位置数字控制系统的采样时间。数控系统定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟随指令位置。 对于给定的某个数控系统，插补周期T和采样周期TC是固定的，通常TTC，一般要求T是TC的整数倍。,第三节 时间分割插补原理,3 插补精度分析 直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插补误差。 圆弧插补时，轮廓步长作为弦

17、线或割线对圆弧进行逼近，存在半径误差。,采用弦线（l）逼近时，见图。 半径为r的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为，由图可推导出：,第三节 时间分割插补原理,当采用内外均差（ era = eri ）的割线时，半径误差更小，是内接弦的一半；若令二种逼近的半径误差相等，则内外均差弦的轮廓步长或步距角是内接弦时的 倍。但由于内外均差割线逼近时，插补计算复杂，很少应用。 由上面分析可知：圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期T 和进给速度F 的平方成正比。,第三节 时间分割插补原理,第三节 时间分割插补原理,一 时间分割法直线插补,在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的

18、原点选在被插补直线的起点，如图所示，设有一直线OPe， O(0,0)为起点，Pe (Xe,Ye)为终点，要求以速度F(mm/min)，沿OPe进给。,一 时间分割法直线插补,设插补周期为t(ms)，则在t内的合成进给量L为： 若t =8ms 则： 式中：,一 时间分割法直线插补,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi，即：,一 时间分割法直线插补,可以证明，从插补精度的角度考虑，插补公式的选用原则为： 这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增量，后计算小的坐标增量。 为什么？请同学们思考！,二 时间分割法圆弧插补,上式中，sin和 cos都是未知数，难以用简单

19、方法求解，采用近似计算，用sin45和cos45来取代，则,二 时间分割法圆弧插补,为保证下一个插补点仍在圆弧上，Y 的计算应按下式进行 经展开整理得,二 时间分割法圆弧插补,同直线插补一样,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi。 这两个公式的选用原则同直线一样。,第六节 刀具半径补偿的计算,刀具半径补偿功能：根据按零件轮廓编制的程序和预先设定的偏置参数，数控装置能实时自动生成刀具中心轨迹的功能,刀具半径补偿功能的主要用途,实时将编程轨迹变换成刀具中心轨迹。可避免在加工中由于刀具半径的变化(如由于刀具损坏而换刀等原因)而重新编程的麻烦。 刀具半径误差补偿。由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径的变化，也不必重新编程，只须修改相应的偏置参数即可。 减少粗、精加工程序编制的工作量。由于轮廓加工往往不是一道工序能完成的，在粗加工时，均要为精加工工序预留加工余量。加工余量的预留可通过修改偏置参数实现，而不必为粗、精加工各编制一个程序。,刀具半径补偿的工作过程,刀补建立 刀补进行 刀补撤销,一 直线两端处刀具中心的位置,二 圆弧两端点处刀具中心的位置,G41,G42,三 转接向量计算,缩短型：G41方式下两向量夹角在0 -180 ，G42方式下两向量夹角在180 -360，刀具中心在C点转折，没有到达B点，比只加