数学圆锥曲线复习(课堂PPT)

1、圆 锥 曲 线,椭圆,双曲线,抛物线,定义,标准方程,几何性质,直线与圆锥曲线 的位置关系,一、知识点框架,双曲线的定义：,椭圆的定义：,二、基础知识点梳理,1、圆锥曲线的定义,椭圆的标准方程：,双曲线的标准方程：,抛物线的标准方程：,2、圆锥曲线的标准方程,椭 圆,抛 物 线,双 曲 线,3、圆锥曲线的性质,通径长,焦点弦,范围：,对称性：,顶点：,离心率：,焦点：,x轴,y轴,原点 对称，长轴长 为2a,短轴长为2b,关于焦点所在轴对称,x轴,y轴,原点对称，长轴长为 2a,短轴长为2b,无,通径长：,渐近线,无,无,准线,无,无,无,无,4、直线与圆锥曲线的位置关系：,直线与圆锥曲线的交

2、点,计算 注意特殊情况,直线与圆锥曲线的弦长,弦长公式,直线与圆锥曲线的弦中点,韦达定理 或点差法,(1)弦长公式,注意：一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式,(2)面积求解,消元,(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题,解题 思路：,圆锥曲线定义的应用 【技法点拨】 圆锥曲线定义的应用技巧 （1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.,（2）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决. （3）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”

3、的相互转化.,例1：(1)一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) （A）抛物线 （B）双曲线 （C）双曲线的一支 （D）椭圆,(2)（2011辽宁高考）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为( ) （A） （B）1 （C） （D）,C,C,练习一：,C,例2：已知点P 是椭圆 一点 ， F1和F2 是椭圆的焦点，,若F1PF2=90，求 F1PF2的面积,若F1PF2=60，求 F1PF2的面积,若F1PF2=，求 F1PF2的面积,改成双曲线呢?,求圆锥曲线的方程 【技法点拨】 1

4、.求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.,(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). (3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.,2.求椭圆、双曲线的标准方程 最常用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条 件(如已知a，b，c，e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、 焦点或准线等)对于双曲线要注意双曲线 与渐近线 的关系，这两条渐近线方程

5、可以合并表示为 ，一般地，与双曲线 有共同渐近线的双曲 线方程是,3.求抛物线标准方程 需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知p）,4.几个注意点 （1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如双曲线有c2=a2+b2，椭圆有a2=b2+c2. （2）“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌.,例1：(1)已知点P(3，-4)是双曲线 渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若 则双 曲线方程为( ) （A） （B） （C） （D

6、） (2)（2011新课标全国高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 过F1的直 线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_,C,【解析】(1)选C.不妨设E（-c,0），F（c,0），则 （3+c,-4）（3-c,-4）=25-c2=0，所以c2=25.可排除A、B. 又由D中双曲线的渐近线方程为 点P不在其上，排除D, 故选C. (2)设椭圆方程为 因为离心率为,所以 解得 即a22b2. 又ABF2的周长为AB+AF2+BF2 AF1+BF1+BF2+AF2 （AF1+AF2）+（BF1+BF2） 2a2a4a，,所以4

7、a16，a4，所以 所以椭圆方程为 答案：,【想一想】解答题1的方法有哪些？解答题2的关键点是什么？ 提示： （1）解答题1可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解. （2）解答题2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长2a的关系.,练习四：,圆锥曲线的性质及应用 【技法点拨】 圆锥曲线性质的求解方法 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等,1离心率 求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与a，b，c有 关的关系式. 对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： （

8、1）代入法就是代入公式 求离心率；（2）列方程法就 是根据已知条件列出关于a,b,c的关系式，然后把这个关系式 整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值.,2.范围 解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x,y的范围.常用方法也有两个. （1）解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围； （2）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围.,3.最值 圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等.研究的常见途径有两个： （1）利用平面几何中的最值结论； （2）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或

9、不等式知识求最值.建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.,例1：（2011福建高考）设圆锥曲线C的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|4 32，则曲线C的离心率等于( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选A.设|F1F2|2c(c0)， 由已知|PF1|F1F2|PF2|432， 得 且|PF1|PF2|， 若圆锥曲线C为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c， 离心率 若圆锥曲线C为双曲线， 则 离心率,【归纳】解答本题的注意点. 提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解.,直线与

10、圆锥曲线 【技法点拨】 1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路 直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解 的讨论，即联立方程组 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程 的形式,并对方程进行讨论。这时要注意考虑a0和a0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).,2.中点弦问题的常规处理方法 (1)通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解； (2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解； (3)中点转移法，先设出一

11、个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项.,3.直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法 利用弦长公式求解：直线l:y=kx+b与圆锥曲线交于A（x1,y1）、 B（x2,y2），则弦长为,例1：过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有( ) （A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条,C,题型一：直线与圆锥曲线的位置关系,课堂互动讲练,例1：(2008年高考北京卷)已知ABC的顶点A，B在椭圆x23y24上，C在直线l：yx2上，且ABl. (1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积； (2)当ABC90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程,【

12、思路点拨】(1)首先由条件求出直线AB的方程，然后联立直线与椭圆的方程，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长|AB|，进而求出ABC的面积； (2)首先用待定系数法设出直线AB的方程，然后建立斜边长|AC|是某一变量的函数关系式，最后求出函数取最大值时的变量值，进而求出直线AB的方程，在解题时，注意运用函数的思想方法,解：(1)因为ABl，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为yx.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2),课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,所以|AC|2|AB|2|BC|2m22m10(m1)211. 所以当m1时，AC边最长

13、(这时12640) 此时AB所在直线的方程为yx1.,例3：(1)求抛物线y2 = 2x过点(-2,0)的弦的中点轨迹,(3),.,例2:(1)求椭圆 上的点,与定点(0,1)的最大距离；,与直线2x-y+10=0的最大距离。,分类讨论思想 【技法点拨】 分类讨论思想的认识及应用 分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论.,例1：椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率 已知点 到这个椭圆上点的最远距离为 求这个椭圆方 程，并求椭圆上到点P的距离为 的点的坐标. 【解析

14、】设椭圆方程为 由a2=b2+c2得a=2b,故椭圆方程可化为 设M（x,y） 是椭圆上任意一点，则x2=4b2-4y2.,-byb（讨论 与-b,b间的关系）， 若 则当 时， 若 则当y=-b时，,矛盾. 综上所述b=1,故所求椭圆方程为: 时， 椭圆上到P点的距离为 的点有两个，分别为,【思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的？ 提示：分类讨论解题的一般步骤为： 确定分类标准及对象； 进行合理地分类； 逐类进行讨论； 归结各类结果.,2.椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则a的值 是( ) （A）2 （B）1 （C） （D）3 【解析】选B.因椭圆 与双曲线 有相同的焦 点，所以有0a2且4-

15、a2=a+2得a2+a-2=0，得a=1.,3.求过定点A（-5,0）且与圆x2+y2-10 x-11=0相外切的动圆的 圆心轨迹是( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选B.x2+y2-10 x-11=0化为标准形式是（x-5）2+y2=36，则圆心为B（5,0）,半径为6，设动圆的圆心为M（x,y）， 则当两圆外切时，有MB=6+MA，则MB-MA=6， 符合双曲线定义，M为双曲线左支，其中2a=6,2c=10，则b=4， 所以双曲线方程为,4.（2012新课标全国高考）等轴双曲线C的中心在原点，焦 点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|= 则C的实轴长

16、为( ) （A） （B） （C）4 （D）8 【解析】选C.设双曲线的方程为 抛物线的准 线为x=-4，且 故可得 将点A坐 标代入双曲线方程得a2=4，故a=2，故实轴长为4.,5.已知椭圆中心在原点，一个焦点为 且长轴长是短 轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_ 【解析】依题意，得 2a22b，即a2b，又a2b2 c2，解之得a4，b2.椭圆标准方程为 答案：,6.设双曲线： 的焦点为F1，F2，离心率为2，则 双曲线的渐近线方程是_. 【解析】由已知双曲线的离心率为2得, 解得a2=1， 代入双曲线方程 中得， 所以渐近线方程为 答案：,7.直线l：y=kx+1与曲线C: 交于M，N两点，当MN 时，求直线l的方程. 【解析】由 消去y得（1+2k2）x2+4kx=0，解得x1= （x1，x2分别为M、N的横坐标）,由MN= 解得