基变换与坐标变换

1、第六章 线性空间,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,主要内容,基变换,第四节 基变换与坐标变换,坐标变换公式,举例,向量的形式意义及运算,我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化

2、的.,2）,一、向量的形式意义及运算,3）,1）若有两组向量,为V 中的一组向量，记作 ， 称之为向量矩阵,给出定义：,定义1 V为数域 P上的 n 维线性空间，,1.定义,4）V为数域 P上的 n 维线性空间， 为,V 中的一组向量， ，若,则记作,则记作,5）V为数域 P 上 n 维线性空间， ；,为V中的两组向量，若,1),2.运算规律,2) ； 为V中的两组向量，,矩阵 ，则,；,；,；,二、基变换,为V 中的一组线性无关向量，而,引理 V为数域 P上的 n 维线性空间，,则 线性无关,1. 定义,定义2 设 1 , 2 , , n 与1 , 2 , , n 是,n维线性空间 V 中两

3、组基，它们的关系是,称 (1) 为基变换公式.,2. 基变换公式的矩阵形式,为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.,把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩,阵形式：,矩阵,称为由基 1 , 2 , , n 到1 , 2 , , n 的过渡矩,阵.,由于1 , 2 , , n 是线性无关的，所以过渡,矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A,是可逆的.,注意 :,1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”.,因为,在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义.,不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会,出毛病的.,2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j

4、, , anj ),就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , , n下的,坐标.,3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆,矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵,4）若由基 过渡矩阵为A,则由基 过渡矩阵为A-1.,5）若由基 过渡矩阵为A,由基 过渡矩阵为B，则,由基 过渡矩阵为AB.,3. 运算规律,设 1 , 2 , , n 和 1 , 2 , , n 是 V 中两个,向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则,1) (1 , 2 , , n )A)B=(1 , 2 , , n )(AB),2) (1 , 2 , , n )A + (1 ,

5、 2 , , n )B = (1 , 2 , , n ) (A+B) ；,3) (1 , 2 , , n )A + (1 , 2 , , n )A = (1 + 1 , 2 + 2 , , n + n ) A .,定理2 设 Vn 中的元素 , 在基 1 , 2 , , n,系式 (1) , 则有坐标变换公式,下的坐标为 (x1 , x2 , , xn )T.,下的坐标为 (x1 , x2 , , xn)T , 在基 1, 2 , , n,若两个基满足关,三、坐标变换公式,证明： 因,由于 线性无关, 故即有关系式 (2). 证毕,换公式 (1).,两种坐标满足坐标变换公式 (2), 则两个基

6、满足变,这个定理的逆命题也成立.,即若任一元素的,过渡矩阵的求法,下坐标，得到A 的第 j 列 (a1j , a2j , , anj ),可得到过渡矩阵A.,方法1：求出j （j=1,2,n）在旧基 1 , 2 , , n,方法2：直接利用矩阵来计算.,方法3：利用矩阵的初等变换计算.,方法4：利用单位基计算.,例 1 在 R 2 中旋转变换,四、举例,过渡矩阵其中,解：,并求向量 在基 下的坐标.,而，,在基 下的坐标就是,设 在基 下的坐标为 ，则,所以 在基 下的坐标为,例 3 在 P x 4 中取两个基,及,求由基1 , 2 , , n 到 1 , 2 , , n的过渡矩阵 和坐标变换

7、公式.,解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.,其中,由,得,故过渡矩阵为 A-1B ，坐标变换公式为,用矩阵的初等变换求 B-1A :,行变换,中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A .,计算如下:,把矩阵 ( B | A ),即得,例 4 在 P 3 中求向量,在基,下的坐标.,解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即,阵即得.,矩阵 A 实施初等行变换 , 使之成为行最简形矩,换来求解:,先构造矩阵 A = (1 , 2 , 3 , ),再对,用基 1 , 2 , 3 表示向量 .,用矩阵的初等行变,行变换,所以,则所求坐标为,小 结,1.向量形式定义,2.基变换,3.坐标变换,的