直接证明与间接证明

1、2.2 直接证明与间接证明,2.2.1 综合法和分析法 2.2.2 反 证 法,综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.,一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 其特点是“由因导果”.,1.综合法:(顺推证法或由因导果法),则综合法可用框图表示如下：,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,例:,已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,证明:, b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.,又 c2+a2 2ac,b0 b(c

2、2+a2) 2abc., a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.,在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证ABC为等边三角形,分析,将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；,A，B，C为ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180；,a，b，c成等比数列转化为符号语言就是,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.,证明：,由A，B，C成等差数列，所以,由A，B，C为C的内角,所以,+=180,由余

3、弦定理及 ，可得,2.分析法(逆推证法或执果索因法),从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).,特点：执果索因,我们也可以用框图来表示分析法：,分析法的适用范围：,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.,证明:要证 只需证: 只需证: 只需证: 因为: 成立 所以 成立,证明：,只需证,只需证,因为 和 都是正数，所以要证,因为2125成立，所以 成立.,注：反证法是最常用的间接证法,一般地，假设

4、原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾, 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法,3.反证法(归谬法),1. 反证法的步骤：,否定结论推出矛盾肯定结论， 即分三个步骤：反设归谬存真,反设假设命题的结论不成立； 即假定原命题的反面为真；,存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的 推理,得出矛盾；,（1）直接证明有困难,正难则反!,（3）唯一性命题,（2）否定或肯定性命题,（4）至多，至少型命题,2.适宜用反证法证明的题型,例1：已知a0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。,证明：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a，, 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 x2 )是方程的两个根.,所以a=0,这与已知矛盾,例2: 设0 a,