期末复习专题(圆锥曲线)

1、圆锥曲线,期末复习专题,1.椭圆的定义 平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a ( )的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a. 在定义中，当 时，表示线段F1F2;当 时,不表示任何图形.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,6.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上的双曲线: ,其中 ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦点在y轴上的双曲线: ,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c). 3.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的参数方程 . (为参数).,c2=a2+b2,x=asec,y=btan,7.双曲线 (a0,

2、b0)的几何性质 (1)范围： ,yR； (2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)； 一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.,|x|a,(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长 ，虚轴长 ; 一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率e= ( )；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状. (5)渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为 ;双曲线 的两条渐近线方程为 .,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,e1,y= x,y= x,双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到

3、渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,8.抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程与几何性质,准线,x轴,y轴,F(- ,0),F(0, ),x=-,y=,-x0,y0+,9.直线与圆的位置关系的判断 由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(

4、1)当dr时,直线与圆 ;(2)当d=r时,直线与圆 ;(3)当dr时，直线与圆 . 10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.,相离,相切,相交,(1)当a0时,则有 ,l与C相交; ,l与C相切; ,l与C相离; (2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则l 于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l 于抛物线的对称轴.,0,=0,0,平行,平行,11.弦长公式 连接圆锥曲线上两个

5、点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|= = .当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.,12.曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个 ; (2)以这个方程的解为坐标的点均是 .那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.,方程的解,曲线上的点,13.求轨迹方程的基本思路 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y). (

6、2)写出动点M所满足的 . (3)将动点M的坐标 ,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程f(x,y)0为最简形式. (5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.,几何条件的集合,代入几何条件,注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）. 14.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程

7、；,(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的 ,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；,定义,(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方

8、程； (5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式.,1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6，则点P的轨迹是( ),C,A.椭圆 B.圆 C.线段F1F2 D.直线F1F2,课堂练习,2.椭圆 + =1的焦点坐标是 ,若弦CD过左焦点F1,则F2CD的周长是 .,( ,0),16,由已知，半焦距c= = ,故焦点坐标为( ,0),F2CD的周长为4a=44=16.,3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( ,0),离心率为 的椭圆方程为 .,=1,b=3 e= = a2=

9、b2+c2 又椭圆焦点在y轴上,故其方程为 =1.,a=2 b=3.,解得,依题设,4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=8,则PM的最大值为 ,最小值为 .,4,依题意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大值为4，最小值为半短轴 .,5.椭圆 =1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x= (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若MN2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是 ., ,1),由已知|MN|=2 . 又|MN|2|F1F2|,则2 4c, 从而 ,故 0,b0,c0.其中a与b的大

10、小关系，可以为a=b,ab. 2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联系.,3.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上. 4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性. 5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有|AB

11、|x1+x2+p.,(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1. (4)抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的 . (5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为x轴或y轴的负方向.,16.若ab且ab0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( ),C,由已知，直线方程可化为y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距，二次曲线方程可化为 =1，应用淘汰法可知

12、A、B、D均自相矛盾.故选C.,17.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，则k的取值范围是 .,(0, ,18.过原点的直线l:y=kx与双曲线C: =1有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是 .,由于双曲线的渐近线的方程为y= x,数形结合可知l与C有两个交点，则直线l夹在两渐近线之间，从而- k0, 解得-1k0或0k1,即-1tan0或0tan1, 故 或00，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件. (5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且

13、只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.,2.数形结合思想的应用. 要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地： (1)过双曲线 =1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；,P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这

14、样的直线. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.,3.特殊弦问题探究方法. (1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解. (2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.,21.方程|x|-1= 表示的曲线是( ),D,A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆,由于|x|-1= (|x|-1)2+(y-1)2=1 |x|-10 x1 x-1

15、(x-1)2+(y-1)2=1 (x+1)2+(y-1)2=1 曲线是两个半圆，故选D.,或,22.设P为双曲线 -y2=1上一动点,O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为 .,x2-4y2=1,(代入法)设M(x,y)，P(x1,y1)， 则 -y12=1. x= x1=2x y= y1=2y,又,即,代入得x2-4y2=1.,(直推法)依题设, |PF1|+|PF2|=25=10 |PQ|=|PF2|, 则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10, 则动点Q的轨迹是以F1为圆心,10为半径的圆, 其方程为(x+4)2+y2=100.,23.已知椭圆 =1

16、的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上一动点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是 .,(x+4)2+y2=100,24.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 = + ,其中、R,且+=1,则点C的轨迹方程是 .,x+2y-5=0,（参数法）设C(x,y). 由 = + ,得(x,y)=(3,1)+(-1,3), x=3- y=+3. 而+=1, x=4-1 y=3-2,即,则,消去得x+2y-5=0.,25.设A1、A2是椭圆 =1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点M的轨

17、迹方程是 .,(交轨法)由已知,A1(-3,0),A2(3,0). 设P1(x1,y1),则P2(x1,-y1),交点M(x,y), 则由A1、P1、M三点共线,得 = . 又A2、P2、M三点共线，得 = . 得 = . 又 =1,即 = , 从而 = ,即 .,1.曲线与方程关系的理解. (1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上. (2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.,(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化

18、为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立了一一对应关系. 2.求轨迹方程方法实质剖析. (1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式;,当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程.所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中

19、不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质(往往是距离的等量关系).,由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答.,1.已知R,则不论取何值，曲线C：x2-x-y+1=0恒过定点( ),D,A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1),由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1, 可知不论取何值,曲线C过定点(1,1).,依题设,即,2.已知kR,直线y=kx+1与椭圆 =1恒有公共