正交试验方差分析

1、.,单因素方差分析的基本原理与步骤,单因素方差分析的目的是考查一个因素的m个水平对实验结果是否存在显著性差异。 假设某单因素试验有k个水平，每个水平有n次重复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式如表6-1所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,.,表6-1 k个处理每个处理有n个观测值的 数据模式,下一张,主 页,退 出,上一张,.,表中 表示第i个水平的第j个观测值 （i=1,2,k；j=1,2,n）； 表示第i个水平n个观测值的和； 表示全部观测值的总和； 表示第i个水平的平均数； 表示全部观测值的总平均数； 可以分解为,下一张,主 页,退 出,上一张,.,(6-1) 表示第i个水平

2、观测值总体的平均数。 为了看出各水平的影响大小，将 再进行分解，令 (6-2) (6-3) 则 (6-4) 其中 表示全试验观测值总体的平均数；,下一张,主 页,退 出,上一张,.,因为,偏差平方和,.,其中 所以 （6-7） （6-7）式中， 为组间偏差平方和 ，反映了各样本平均值间的差异，记为SSt，即,下一张,主 页,退 出,上一张,.,(6-7)式中， 为 组内偏差平方和，反映了各水平下多次实验结果间的差异，记为SSe，即 于是有 SST =SSt+SSe （6-8） 这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：,下一张,主 页,退 出,上一张,.,(6-9) 其中，C= /kn称为矫正

3、数。 方差分析统计量 在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受 这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减1，即kn-1。总自由度记为dfT，即dfT=kn-1。,下一张,主 页,退 出,上一张,.,在计算组间平方和时，各水平均数 要受 这一条件的约束，故组间自由度为水平数减1，即k-1。组间自由度记为dft，即dft=k-1。 在计算组内平方和时，要受k个条件的约束，即 （i=1,2,k）。故组内自由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。组内自由度记为dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。,下一张,主 页,退 出,上一张,.,因为 所以 (6-10) 综合以上各式得： (

4、6-11),下一张,主 页,退 出,上一张,.,各部分偏差平方和除以各自的自由度便得到总均方、组间均方和组内均方， 分别记为 MST（或 ）、MSt（或 ）和MSe（或 ）。 即 （6-12） 总均方一般不等于组间均方加组内均方。,下一张,主 页,退 出,上一张,.,构造统计量 F=MSt/MSe 根据显著性水平 ，FFa，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若F0Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。,.,（6）正交试验方差分析说明,由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行重

5、复试验，以估计试验误差。 误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。 为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因（MS交） 2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。,.,表10-21 Ln（mk）正交表及计算表格,.,总偏差平方和：,列偏差平方和：,试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水平作r次重复rn/m。,当m2时，,.,总自由度：,因素自由度：,.,表1

6、0-20 L9(34)正交表,分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。,因素A第1水平3次重复测定值,因素A第2水平3次重复测定值,因素A第3水平3次重复测定值,单因素试验数据资料格式,.,3.2.2 不考虑交互作用等水平正交试验方差分析,例：自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验指标为自溶液中蛋白质含量（）。试验因素水平表见表10-22，试验方案及结果分析见表10-23。试对试验结果进行方差分析。,表10-22 因素水平表,.,表10-23 试验方案及结果分析表,.,（1）计算,计算各列各水平的K值 计算各列各水平对应数据

7、之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。,计算各列偏差平方和及自由度,同理，SSB=6.49，SSC=0.31 SSe=0.83（空列）,.,自由度：dfAdfBdfCdfe3-1=2,计算方差,（2）显著性检验,根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24,表10-24 方差分析表,.,因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。因素主次顺序A-B-C。,（3）优化工艺条件的确定,本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。即温度为58，pH值为

8、6.5，加酶量为2.0%。,.,3.2.3 考虑交互作用正交试验方差分析,例： 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。,（1）计算,计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；计算各列偏差平方和及自由度。,.,表10-25 试验方案及结果分析表,.,表10-26 方差分析表,（2）显著性检验,因素B高度显著，因素A、C及交互作用AB、AC、BC均不显著。各因素对试验结果影响的主次顺序为：B、A、AC、C、AB、BC。,.,（3）优化条件确定,交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。对显著因素B，通过比较K1B和K2B的大小确定优水平为B2；同理A取A2，C取C1或C2。优组合为A2B2C1或A2B2C2。,方差分析可以分析出试验误差的大