2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 6.4数列求和

1、数学 A（文）,6.4 数列求和,第六章 数 列,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法 等差数列的前n项和公式,Sn na1,等比数列的前n项和公式,()当q1时，Sn ；,na1,()当q1时，Sn .,(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.,(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数

2、列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.,(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.,2.常见的裂项公式,思考辨析,(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn .( ),(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( ),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”),(5)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通

3、项公式是an .( ) (6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.( ),A,B,50,解析,因为a10a11a9a122a10a112e5， 所以a10a11e5. 所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20) ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)10 10ln(a10a11)10ln e550ln e50.,例1 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .,题型一 分组转化法求和,思维升华,解析,解

4、Sn2(133n1) 111(1) n (ln 2ln 3)123 (1)nnln 3，,例1 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .,题型一 分组转化法求和,思维升华,解析,所以当n为偶数时，,当n为奇数时，,例1 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .,题型一 分组转化法求和,思维升华,解析,例1 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .,题型一 分组转化法求和,思维升华,解析,例1 已知数列an

5、的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .,题型一 分组转化法求和,思维升华,解析,某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.,例1 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .,题型一 分组转化法求和,解析,思维升华,跟踪训练1 (1)数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an前12项和等于( ) A.76 B.78 C.80 D.

6、82,解析 由已知an1(1)nan2n1， 得an2(1)n1an12n1， 由得an2an(1)n(2n1)(2n1)， 取n1,5,9及n2,6,10， 结果相加可得 S12a1a2a3a4a11a1278.,B,解析 由已知得数列an的通项公式为 an3n2n13n12n， Sna1a2an,(2)已知数列an的前n项是321,641,981,12161，则数列an的通项公式an_，其前n项和Sn_.,(2)已知数列an的前n项是321,641,981,12161，则数列an的通项公式an_，其前n项和Sn_.,3n12n,(253n1)(2222n),例2 已知等差数列an的前3项和

7、为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式；,思维点拨,解析,思维升华,题型二 错位相减法求和,列方程组求an的首项、 公差，然后写出通项an.,思维点拨,解析,思维升华,例2 已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式；,题型二 错位相减法求和,解 设等差数列an的公差为d.,例2 已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式；,题型二 错位相减法求和,故an3(n1)(1) 4n.,思维点拨,解析,思维升华,错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即anbncn的前n项和的方法.这种方法运算量

8、较大，要重视解题过程的训练.,例2 已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式；,题型二 错位相减法求和,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,q1时，bn为等差数列，直接求和；q1时，用错位相减法求和.,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,解 由(1)得，bnnqn1，于是 Sn1q02q13q2nqn1. 若q1，将上式两边同乘以q有,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)设bn(4an)qn1(

9、q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,qSn1q12q2(n1) qn1nqn. 两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,思维升华,注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围.,例2 (2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,思维点拨,

10、解析,跟踪训练2 已知首项为 的等比数列an是递减数列，其前 n项和为Sn，且S1a1，S2a2，S3a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,解析,又S1a1，S2a2，S3a3成等差数列， 2(S2a2)S1a1S3a3， 变形得S2S12a2a1S3S2a3，,即得3a2a12a3，,跟踪训练2 已知首项为 的等比数列an是递减数列，其前 n项和为Sn，且S1a1，S2a2，S3a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,(2)若bnanlog2an，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式 的最大n值.,解析,(2)若bnanlog2an，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式

11、 的最大n值.,(2)若bnanlog2an，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式 的最大n值.,n的最大值为4.,解析,题型三 裂项相消法求和,例3 (2014山东)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列an的通项公式；,思维升华,解析,思维升华,题型三 裂项相消法求和,例3 (2014山东)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列an的通项公式；,解析,思维升华,题型三 裂项相消法求和,例3 (2014山东)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求

12、数列an的通项公式；,由题意得(2a12)2 a1(4a112)，解得a11， 所以an2n1.,利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.,解析,思维升华,题型三 裂项相消法求和,例3 (2014山东)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列an的通项公式；,例3,解析,思维升华,解析,思维升华,例3,解,解析,思维升华,例3,当n为偶数时，,解析,思维升华,例3,当n为奇数时，,解析,思维升华

13、,例3,解析,思维升华,利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.,例3,跟踪训练3 在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足 (1)求Sn的表达式；,解,anSnSn1 (n2)，,跟踪训练3 在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足 (1)求Sn的表达式；,由题意得Sn1Sn0，,即2Sn1SnSn1Sn， ,跟踪训练3 在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足 (1)求Sn的表达式；,解,审题路线图系列4 四

14、审结构定方案,典例：(12分)已知数列an的前n项和Sn n2kn (其中kN*)，且Sn的最大值为8. (1)确定常数k，并求an；,规范解答,审题线路图,温 馨 提 醒,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,Sn n2kn及Sn最大值为8 Sn是n的函数 nk时(Sn)maxSk8 (根据Sn的结构特征确定k值),利用an、Sn的关系 an n,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法,式两边同乘以2,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,错位相减,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,审题线路图,温 馨 提

15、醒,规范解答,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,审题线路图,温 馨 提 醒,规范解答,(2)利用Sn求an时不要忽视n1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数. (3)可以通过n1,2时的特殊情况对结论进行验证.,方 法 与 技 巧,非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.,1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，

16、应对其公比是否为1进行讨论.,3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.,2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并.,失 误 与 防 范,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,答案 A,2.已知函数f(n)n2cos n，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于( ) A.0 B.100 C.100 D.10 200 解析 f(n)n2cos n,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,由anf(n)f(n1)

17、 (1)nn2(1)n1(n1)2 (1)nn2(n1)2(1)n1(2n1)， 得a1a2a3a100 3(5)7(9)199(201) 50(2)100. 答案 B,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.数列a12，ak2k，a1020共有十项，且其和为240，则a1aka10的值为( ) A.31 B.120 C.130 D.185 解析 a1aka10 240(22k20) 240110130.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,C,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn等于( ) A.6nn2 B.n

18、26n18,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析 由Snn26n得an是等差数列， 且首项为5，公差为2. an5(n1)22n7， n3时，an3时，an0，,答案 C,5.数列an ，其前n项之和为 ，则在平面直角坐标 系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为( ) A.10 B.9 C.10 D.9 解析 数列的前n项和为,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,n9，直线方程为10 xy90. 令x0，得y9，在y轴上的截距为9. 答案 B,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.数列an满足anan1 (nN*)，且a11

19、，Sn是数列an的前n项和，则S21_. 解析 由anan1 an1an2， an2an， 则a1a3a5a21，a2a4a6a20， S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21) 110 6.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,公差为1的等差数列，偶数项构成了首项为1， 公差为1的等差数列，通过分组求和可得,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,答案 1 007,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求数列cn的前n项和Sn.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,

20、6,7,8,9,10,1,2,两式相减，得,10.(2013江西)正项数列an的前n项和Sn满足： S (n2n1) Sn(n2n)0. (1)求数列an的通项公式an； 解 由S (n2n1)Sn(n2n)0， 得Sn(n2n)(Sn1)0， 由于an是正项数列，所以Sn10.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,所以Snn2n(nN*). n2时，anSnSn12n， n1时，a1S12适合上式. an2n(nN*).,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,12,13,14,15,11,12,13,14,15,11,11.已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于( ) A.2 008 B.2 010 C.1 D.0 解析 由已知得anan1an1(n2)， an1anan1.,12,13,14,15,11,故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，2 008，2 009， 1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S60. 2 01463354， S2 014