基本不等式的证明.ppt

1、A,1,高二数学(必修五)多媒体课件,3.4.1 基本不等式的证明,A,2,一、问题情境,【问题1】,把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天平的两臂长略有不同(其它因素不计),那么并非实际质量.不过,我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？,A,3,1.猜测：,2.讨论：,物体的实际质量应为,3.提示：,应用力学原理求解,4.求解：,问题一：把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天平的两臂长略有

2、不同(其它因素不计),那么并非实际质量.不过,我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？,5.结论：,物体的实际质量应为,二、猜测讨论,A,4,三、建构数学,(一)定义新概念,1.算术平均数：,2.几何平均数：,(二)提出新问题,【问题2】,两个非负数的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？,对于正数a,b,我们把叫做a,b的算术平均数,对于正数a,b,我们把叫做a,b的算术平均数,A,5,【问题2】,两个非负数的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？,1.试验：,2.猜测：,3.证明：,三、建构数学,A,6,证

3、法一：,三、建构数学,证明：如果a,b是正数，那么,A,7,证明不等式的方法一：比较法,2.比较法（作差法）的解题步骤： 作差变形判断结论,归纳(一),1. 依据：,A,8,证法二：,三、建构数学,证明：如果a,b是正数，那么,A,9,证明不等式的方法二：分折法,归纳(二),筒单地说就是“执果索因”.,证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.,A,10,说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立

4、统一的两种方法.,分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B真，,只需要证明命题B1为真，从而有 只需要证明命题B2为真，从而又有 只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真,归纳(二),A,11,证法三：,三、建构数学,证明：如果a,b是正数，那么,A,12,证明不等式的方法三：综合法,归纳(三),利用某些已经证明过的不等式（如基本不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通 常叫做综合法 。,筒单地说就是“由因导果”.,A,13,证明不等式的方法,（一）比较法,作差变形判号结论。,（二）综合法,结合已知条件，再利用熟知的事实或已经证明过的不等式作为基础推导

5、出所要求证的不等式。,（三）分析法-,从求证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件，直至这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。,三、建构数学,A,14,(三)定理：如果a,b是正数，那么,两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,三、建构数学,定理的变形公式：,A,15,“半径不小于半弦”,(四)定理的几何解释,三、建构数学,A,16,三个非负数的算术平均数 不小于它们的几何平均数.,三、建构数学,(五)定理的拓广：,1.如果a,b,c是非负数，那么,2.如果,都是非负数,那么,A,17,四、数学运用,(一)证明不等式,例1.证明：,【变式1】已知a,b.c是不全相等的实数,证明：,【变式2】已知a,b.c,d都是正数,证明：,A,18,四、数学运用,(一)证明不等式,例2.证明：若0x2,则,【变式1】若00且2x+y=1,证明：,A,19,四、数学运用,(一)证明不等式,例3.已知a,b,c都是正数,且a+