全等三角形 经典例题

1、数学期末考试范围： 七下：第3,4,5,6章 （整式的乘除、因式分解、分式、数据与统计图表） 八上：第1章（三角形的初步知识） 第2章（2.12.3）（等腰三角形的性质为止）,全等三角形,如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？,BD=CE吗?,6. 如图，CDAB于D，BEAC与E，BE、CD交于O，且AO平分BAC，求证：OB=OC,图中有几对全等三角形?,如图，已知RtABCRtADE，ABCADE90， BC与DE相交于点F，连接CD，EB.21 (1)图中还有几对全等三角形； (2)求证：CFEF.,条件：AP平分BAC，PBAB，PCAC,条件：CD是线段AB的中垂线,要

2、修建一个超市P，要满足三个村庄A、B、C都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三角形)，请问如何确定这个超市的位置，说明理由？,A,B,C,3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到三条公路的距离相等.,这样的点有几个？,各内角与外角的角平分线 4个,6、作图，你能否找出一个点，使它到线段AB两端点的距离相等，并且到COD两边的距离也相等,试说明：三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等 若三角形三条边边长分别为a,b,c，三条角平分线的交点到三角形三条边的距离为r，则三角形的面积 为_,手拉手模型,常见图形5(背靠背) 例3：把两个含有45角的直角三角板如图1放置，点D在

3、BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：(1)BE=AD；(2) AFBE,变形_1: 以点A为顶点作二个等腰直角三角形（ABC，ADE），如图所示，连接BD，CE （1）求证：BD=CE （2）求BFC的度数,如图,已知 中, ,BE ,CF 都是 的高,P 是BE 上一点且BP=AC ,Q 是CF 延长线上一点且CQ=AB ,连接AP ,AQ ,QP ,求证:,以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，ADE），连接CD，连接BE. 有哪些结论？,变形_2: ：以点A为顶点作二个等边三角形（ABC，ADE），连接CD，连接BE. （1）求证：BD=CE （2）求BFC的度数,已知

4、如图，ABC与EDC都是等边三角形，且ADE在同一条直线上，若DBE86 则ADB,例三：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=CE吗？,如图（1），等边ABC 中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边DEC ，连结AE。 1）试说明AEBC的理由 3）如图（2），将（1）中点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有AEBC？证明你的猜想。,如图,已知在ABC中,ABAC,BE ,CF 都是ABC高,P 是BE 上一点且BP=AC ,Q 是CF 延长线上一点且CQ=AB ,连接AP ,AQ ,QP ,求证: （1）AP=AQ ; （2

5、）APAQ .,如图13，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE吗？为什么？,如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：(1)AE=CF；(2)EPF是等腰直角三角形；(3) ；(4)当EPF在ABC内绕顶点P旋转时EF=AP(点E不与A、B重合)。上述结论中始终正确的有(),截长补短法作辅助线,要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。 截长法，即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。 补短法，即把两短线段补成一条，再证它与

6、长线段相等。,如图，在四边形ABCD中，AB/DC，BE，CE分别平分ABC，BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.,常规结论有哪些：,如图，在四边形ABCD中，AB/DC，BE，CE分别平分ABC，BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.,如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60.求证：CD+BE=BC.,在线段BC取点F，使得BF=BE，连结OF。,结论1：BOEBOF， 需要证：CF=CD,你能有哪些结论？,角平分线，构筝形 线段和差，截长补短,如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60.求证：CD+BE=BC.,在线段BA或延长线上取点H，使

7、得BH=BC，连结OH。,结论：BOHBOC 要证：EH=CD 即证：EOHDOC,如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60.求证：CD+BE=BC.,在线段BA或延长线上取点H，使得CD=EH，连结OH。,要证BOHBOC， 已有条件BO=BO， HBO=CBO.,原因：没有用到角平分线模型,如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60.求证：CD+BE=BC. 方法总结：,BE=BF,BH=BC,统一模型：角平分线轴对称模型,如图，ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，A=60.求证：CD+BE=BC.,想一想，你还有什么方法？,提示：利用角平分线性质定理.,例7

8、、已知：如图所示，ABCD，PB和PC分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直 求证：PA=PD,E,在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E，F在AC上，且CF=EB ，求证： （1）BD=DF （2）AB+AF=2AE,变：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，ADC与ABC互补. 求证：2AE=AD+AB,如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，2AE=AD+AB.求ADC+ABC的度数.,如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于点E,且B+D=180.求证：AE=AD+BE.,F,如图，在正方形ABCD中，E是AB上一

9、点，F是AD的延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？,(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD上，且EF=BE+FD. 求证：FC平分EFD.,在ABC中，AD平分BAC,AB+BD=AC,求B: C,已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。,倍长中线,1.在ABC中,AB=8,AC=6,则BC上的中线AD的取值范围.,D,E,1.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。,2.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD的中线

10、. 求证：B=CAE,变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点，求证： (1)AD平分BAE. (2)AB=2AE,3.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点，连结AE，BE，BEAE.求证：AB=BC+AD.,4.已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEF,5.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.,(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60

11、探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系,(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；,三垂直,P31 EX17 （1）如图甲所示，在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，垂足为D， CE直线m，垂足为E.证明：DE=BD+CE.,(2)如图乙所示，将第（1）题中的条件改为在ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角.请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.,P31 EX16

12、如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线垂足分别为点E，F，G若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为 ,P30 EX12 如图，在ABC中，C=90，P、E分别是边AB、BC上的点，D为ABC外一点，DEBC，DE=EC，BE=2EC，BDE=PEC，ADPE，AC=4，则线段BC的长为 。,如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为_,练习3：如图. ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与AD相等，并说明理由。,B,E,A,C,D,如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，过点B作BFBC，并使BF=BD