微积分(函数的极值最值及其应用) 精品课件

1、1,第四节 函数的极值、最值及其应用,4.4.1 函数的极值及其求法,2,定义：,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,3,定理：(必要条件)若点x0是函数 f (x) 的极值 点,且 f (x) 在 x0可导,则 。,定义：,注意:,例如,4,定理2(一阶充分条件) 设函数 f (x)在 x0的某空心邻域内可导，且在 x0连续。,证:,根据函数单调性判别定理，,由1）中条件可知，函数f (x)在点x0的左邻域内单调增加，在点x0的右邻域内单调减少。,5,求极值的步骤:,而f (x)在x0处又是连续的，故由极大值的定义可知， f (x0)是f (x)的极大值。,(2)

2、求 的点和不可导点。,(3)检查 在驻点和不可导点左右的正负号，由此判断极值点。,(4)求极值。,6,例1：,解：,把定义域分成区间列表讨论,由表可知，f (x)在x3处取极大值 f (3)=108， f (x)在x5处取极小值 f (5)=0。,7,例2：,解：,把定义域分成区间列表讨论,由表可知，f (x)在x0处取极大值 f (0)=0， f (x)在x1处取极小值 f (1)=3。,8,定理3(二阶充分条件)：设 f (x)在 x0处具有二阶导数,且f / (x0)=0, f / (x0)0,那末 (1)当f / (x0)0时, 函数在x0处取得极大值； (2) 当f / (x0)0时

3、, 函数在x0处取得极小值。,证:,同理可证(2).,9,例3:,解:,10,注意:,图形如下,11,考研题欣赏,（2005年3，4）设,（A） 是极大值， 是极小值。,下列命题中正确的是。,（B） 是极小值， 是极大值。,（C） 是极大值， 也是极大值。,（D） 是极小值， 也是极小值。,答案：（B）,12,4.4.2 函数的最值及其求法,若函数f(x)在闭区间a，b上连续，则f(x)在 a，b上一定存在最大值M和最小值m.,13,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值，则这

4、个极值就是最值 (最大值或最小值)。,14,例4:,解:,计算,比较得,15,16,例5:,解:,如图,17,解得,18,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值(最大值或最小值)。,19,例6: 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解:,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为:,20,（唯一驻点）,故每月每套租金为3500元时收入最高.,最

5、大收入为:,即为极大值。,21,例7: 一工厂生产某种产品，每月产量为x(千克) 时，总成本C（万元）为： 求当产量为多少时，平均成本最低。,解:,平均成本函数为：,所以当产量x80时，平均成本最低为C(80)84。,22,一般地设总成本函数为C= C(x), x为产量。 则平均成本函数为:,要使平均成本函数最低，则应有：,于是有,即平均成本边际成本,23,例8：某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为Q1000100P，求当P=?时总收益最大。,解：,依题意总收益函数,所以当价格P 5时，总收益最大为R(5)2500。,称为边际收益递减规律,RPQ=P(1000100P)= 1000P100

6、P2,24,考研题欣赏,（2004年）设某商品需求函数为Q1005P，其中 P (0，20),Q为需求量。 (1)求需求量对价格的弹性Ed (Ed0); (2)推导 ，(其中R为收益)， 并用弹性Ed说明价格在什么范围内变化时，降低价格反而使收益下降。,25,解：,例9：某商品需求量x与价格P之间的函数的关系为x1000100P，固定成本为500元，单位可变成本为2元。当产量x为何值时利润最大？,总成本函数为C(x)2x500。,总收益函数为： R(x)xP=10 x - 0.01 x2。,则利润函数为:L(x)R(x)-C(x)8x-0.01x2-500,所以当产量x400时，利润最大为L(

7、400)1100元。,26,一般地设总成本函数为C(x),总收益函数为R(x)。则利润函数为:L(x)R(x)-C(x)。,要使利润最大，则应有：,于是有,即边际收益边际成本（称为利润最大化的必要条件）,于是有,即边际收益的边际4a/3)，市场调查表明，销售价每降低10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价，当销售价定为多少时，可获得利润最大？并求出最大利润。,30,例11:某商店每年销售某种商品10000千克，每次订货的手续费为40元，商品的单价为2元/千克，年存储费是平均库存商品价格的10%，求最优订货批量。,解：设订货批量为x，则年订货费为:,年存储费为:,商品成本为210000，因此，全年总费用为:,所以当x2000时，总费用最小为C(2