球的表面积与体积

1、思考：如何求球的体积？,排液法：,H,球的体积与表面积,假设将圆n等分，则,A2,A1,An,O,A3,回顾：圆面积公式的推导,延伸阅读：割圆术,早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。 这是世界上最早的“极限”思想。,思考：能否也采取“分割”与“极限”思想，推导球的体积公式？,把半球分割成n个薄片,当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。,O,R,当n时，每个薄片近似于圆柱,

2、设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。 将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。 选第i层（由下而上），如右图。 厚度： 下底面半径： 体积：,球的体积公式,用“祖暅原理”得到球体积公式,高等于底面半径的旋转体体积对比,球的表面积公式推导,球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? 从球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。,则球的体积为：,球的表面积公式推导,基本计算问题,1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (

3、2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.,2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的_倍. (2)把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的_倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为_. (4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为_.,用一个平面去截一个球O，截面是圆面,O,球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则,截面问题,截面问题,1.一球的球面面积为256cm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积. 变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分别为

4、49cm2和400cm2，求球的表面积.,两种情况,2. 过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距离等于球的半径的一半，且ABBCCA3，求球的体积. 变式：在半径为13cm的球面上有A、B、C三点，AB6cm，BC8cm，CA10cm，求经过A、B、C三点的截面与球心O之间的距离.,要点：准确画图，利用基本三角形,“接”与“切”：,两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题,球与正方体的“接切”问题,典型：有三个球,一球切于正方体的

5、各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 找准数量关系,球与正方体的“接切”问题,四面体与球的“接切”问题,典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R. 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？,1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法,四面体与球的“接切”问题,此页不讲，留给以后

6、专题课,球与旋转体的“接切”问题,1.半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D点，将其绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台侧面积的比为3:4，求球的体积与圆台体积之比. 2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？,轴截面,球堆问题,1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的距离. 2.四个半径为R的大球上层一个，下层三个两两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内有一个小球与这四个大球都外切，另有一个更大的球与这四个大球都内切，求小球的半径r和更大球的半径R.,化归为以各球球心为顶点的多面体问题,此页2不讲，留给以后专题课,平行于底面的截面与底面相似，且,S,S1,当平行于底面的截面过棱锥高的中点时，这个截面常被称为中截面，思考：,锥体截面性质,锥体截面问题,1.用平行于圆锥底面