离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构

1、第五章 代数系统的一般性质,5.2 代数系统及其子代数和积代数,1) ,都是代数系统,其中 为普通加法,为普通乘法,定义5-12 一个非空集合S和定义在该集合上的一个或 多个运算 所组成的系统称为代数系统。用记号 表示。,2) 是代数系统,其中和分别表示矩阵加法 和矩阵乘法.,3) 也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算.,例如,52 代数系统及其子代数和积代数,一、 代数系统,4)是代数系统，其中,的幺元为零,也可记作,二、 子代数,含有相同的代数常数,简称子代数。,2)不是的子代数.因为代数常数0 不出现在N-0中.,这种最大与最小的子代数称为V的平凡的子代数,如果令V中所有的代数

2、常数构成的集合是B,且B对V中所有的 运算都是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.,而其他的子代数都是V的非平凡的真子代数.,令,例1. 设,为自然数,证明: nZ是V的子代数.,证明: 任取nZ中的两个元素,则有,即nZ对运算是封闭的,所以,nN是的子代数.,并且,注: 当n=1时,nZ就是V本身,当n=0时,0Z=0是V的最小的子代数,三. 代数系统的积代数,其中 和 都是二元运算,。 和 的积代数是一个代数系统,即,其中,是二元运算，定义为对任意的,例2 设有代数系统 其中 ， 和 分别是模2和模3的加法，即,根据定义514，积代数 其中 对于任意，,求积代数,运算 的运算表如下:

3、,对任意的,例2. 设,表示整数加法和矩阵乘法,都有,例如,求积代数,如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,比如说V1的 代数常数为a1 , V2的代数常数为a2 ,就是积代数 V1V2中的代数常数例如,那么积代数V1 V2 的代数常数就是,这时,3个代数系统的积代数:,例如,那么有,并且对任意的,有,积代数的性质:,则积代数中相应的二元运算也是可交换的,练习 1通常数的减法运算能否和下列集合构成一个代数系统. （2）非负整数集Z ( ) （3）整数集I （ ） （4）有理数集Q （ ）,N,Y,Y,3设代数系统 ，其中二元运算 定义为 中较大的数, 则 有 个子代数。 A3 B6 C7 D

4、8,N,Y,C,4. 3 代数系统的同态与同构,一、 代数系统的同态,1同态的概念,和*是二元运算,如果存在映射,例1. 设,这里,解: 因为对任意x,yZ有,例2.令,解: 因为对任意x,yR有,如果是满射的,则称,如果是单射的,则称,如果是双射的,则称,2. 同态象、同构,例3.,给定,令,其同态象为,显然是双射,其同态象就是,例3.,给定,令,(2)令,有,注,如果中只含有一个字母,比如说a,那么,二 . 一般的代数系统的同态,定义5.15的同态概念可以推广到一般的代数系统中去.,1. 先考虑具有两个二元运算的代数系统,如果存在映射,类似的,也可以把同态概念推广到具有两个k元运算的代数系

5、统,例4. 设,其中和,普通加法和乘法,有,这里,令,则,是从,的同态,到,解: 对任意x,yZ有,表示,和,表示模n 的加法和模n 的乘法,即,2. 具有一元运算的代数系统中的同态,定义5-1” 设,是代数系统，,如果存在映射,满足,是二元运算,其中,是一元运算.,例5. 设,其中和,普通加法和乘法,解: 对任意x,yZ有,表示,所以,令,3. 具有代数常数的代数系统之间的同态,定义5-1” 设,是代数系统，,如果存在映射,满足,则称,是,是二元运算,其中,是代数常数.,例6. 设,其中,解: 对任意x,yZ有,表示普通加法,表示模n 的加法,令,三、 同态的性质,例 题 1在下列N的子集中

6、，哪些在加法下是封闭的？证明你的回答： （1）n|n与5互素； （2）n|6整除n，而24整除 .,解 （1） 令A=n|n和5互素，则在加法下不是封闭的，例如 但,也能被24整除,因此 能被24整除,由此可知 .,（2）令A=n|6整除n,而24整除 。集合A在加法下是封闭的，,因为若设 ，则 所以 能被6整除。 因为 能被24整除， 能被24整除，,3下面是实数集合R上的二元运算*的不同定义。在每一情况下，判定*是否是可交换的，是否是可结合的，R对于*是否有单位元？如果有单位元的话，R中的每一元素对于*是否都是可逆的？,因 所以*是可交换的。,又,R对于*没有单位元。若*有单位元e，则 ，

7、但由于 ，当 时，等式显然不能成立，所以不可能有单位元。,例如，取 则 而 . 因此*是不可结合的。,解（2）因为 ，所以*是可交换的。,因为 所以 .即是可结合的。,没有单位元，显然，若有单位元，由运算公式，单位元只可 能为0，但 当 时,3下面是实数集合R上的二元运算*的不同定义。在每一情况下，判定*是否是可交换的，是否是可结合的，R对于*是否有单位元？如果有单位元的话，R中的每一元素对于*是否都是可逆的？,4 设是一代数系统，*是可结合的二元运算，且对于所有,yS,的若*y=y*,则=y。试证明S中每一个元素均是幂等元。,证明 因为*可结合，所以对于任意的S,有(*)*=*(*),由题设

8、条件*=，故是幂等元，,由的任意性，S中每一元素均是幂等元。,5 设 是从 到 的同态， 是从 到 的同态，这里运算、*和均是二元运算。试证明复合函数 是从 到 的同态。,故 是从 到 同态。,证明 因为 和 均是同态，所以对于任意的 有,6 设 和 都是从代数系统 到 的同态，这里*和 都是二元运算，且 是可交换和可结合。定义函数 使得对于任意 试证明h也是从 到 的同态。,证明 对于任意 因为 和 都有是从 到 的同态，所以有 又因为 是可交换和可结合的， 所以 由x,y的任意性，可知h也是从 到 的同态。,7 设函数 是从代数系统 到 的同态，其中运算 和 分别是二元运算和一元运算。试证明 对于运算 和 构成 的子代数。,分析 证明之前先要搞清楚符号 的含义。 是