有限元分析法第3章 杆单元

1、第三章：如何用直接法计算杆件的特性？如何用公式法推导杆单元的特性？虚拟工作的原理是什么？杆单元刚度矩阵的特征？什么是坐标变换？如何对节点位移向量进行坐标变换？如何对刚度矩阵进行坐标变换？例如，31个等截面一维杆单元，L杆长A横截面积E弹性模量，考虑一个等截面2节点一维杆单元，应力-应变关系，位移杆单元应变杆单元应力，应变-位移关系，31个等截面一维杆单元，(1)推导单元特征伸长，应变，应力的直接方法。(1)推导单元特征的直接方法杆单元伸长：31等截面一维杆单元。在轴向拉伸和压缩变形模式下，杆单元的性能与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：31等截面一维杆单元。(2)公式法用于推导杆单元的特性

2、。在单元上假定近似位移函数位移模式。定义节点的插值函数(形状函数)，引入局部坐标：对于杆单元，假设单元上的位移是一个简单的多项式函数，通过有限元中的插值方法，节点位移(待定参数)定义单元的假定位移函数，31个等截面一维杆单元，那么单元假定位移函数的位移模式如下：矩阵形式：单元应变：单元应变矩阵，单元应力：应用弹性体虚功原理。等截面一维杆单元，虚功原理当具有虚位移的弹性体处于力平衡时，如果发生虚位移，外力的虚功等于弹性体中的虚应变能。平衡条件：对于杆单元，虚位移定义如下：节点虚位移：单元虚位移：节点力(外力)虚功：然后单元虚应变：31一维等截面杆单元，单元虚应变能：将虚位移原理应用于杆单元，得到

3、：考虑任意性，立即得到：这是刚度矩阵的一般形式，可以推广到其他类型。杆单元的刚度矩阵，31个等截面一维杆单元，对于上述杆单元，公式与直接法得到的公式相同！31等截面一维杆单元，(3)关于杆单元的讨论1)在单元坐标系中，每个节点有一个未知的位移分量，单元有两个自由度。2)单元刚度矩阵单元的物理意义：在刚度方程中，设：然后：单元刚度方程，31个等截面一维杆单元。因此，单元刚度矩阵的第i(i=1，2)列单元表示当单元的第I个自由度的位移保持不变且其它自由度的位移保持不变时施加在单元上的节点力分量。(你也可以用这种方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，并尝试练习。)单元的刚度矩阵是对称的和奇异的，主对角线

4、元素是常数和正的。31等截面的一维杆单元，(4)用实例计算所示杆中的应力。解决方案：它分为杆单元，单元在节点处铰接。刚度矩阵为：31等截面一维杆单元，参照以前的弹簧系统法，装配系统的有限元方程(平衡方程):引入边界位移约束和载荷：将系统方程转化为：31等截面一维杆单元，从上述方程中删除第一个方程，得到：位移解：单元1应力：解为：31等截面一维杆单元。2)对于锥形杆，单位横截面积可以取平均值。3)在计算应力之前，需要用有限元位移法计算接头位移。，31等截面一维杆单元，练习2:已知，解，二维空间中的32个杆单元，(1)二维空间(平面桁架)中的杆单元，二维空间中的一维空间杆单元，坐标变换，二维空间中

5、的32个杆单元，一维空间中的原始杆坐标系作为二维空间中杆单元矢量的坐标变换矩阵是：这显然是一个正交矩阵，即， 单元节点位移矢量的变换公式如下：或，单元节点的力的变换为：二维空间中杆单元刚度矩阵的坐标变换，局部坐标系中杆单元的刚度方程为：扩展为4自由度形式：以矩阵符号形式写成：32二维。利用前面的矢量坐标变换公式，我们得到： 考虑到变换矩阵的正交性，得到：杆单元在整个坐标系中的刚度矩阵为：用单元刚度矩阵组装系统刚度矩阵的方法与一维情况相同，子块根据节点数重新排列。二维空间中的32个杆单元，单元应力：即二维空间中的杆单元，(2)例如，平面桁架由两个相同的杆(E，A，L)组成。求解：1)节点位移2)每个杆件的应力，求解：求出整体坐标中每个单元的刚度矩阵：二维空间中的32个杆件单元，二维空间中的1: 1-2，32个杆件单元，二维空间中的2: 2-3，32个杆件单元，将单元1，2的刚度方程