第六章-与DFT有关的几个问题.ppt

1、数字信号处理,电器信息工程学院蔡超峰,引言,引言,DFT的定义：,周期延拓,DFS,DFT,DFT与其DTFT之间的关系：上式表明，N点序列的N个DFT系数等于它的DTFT在0,2)的区间上的N个等间隔样本值。,引言,DFT,DTFT,引言,DFT的性质：,线性性质卷积性质时移性质对称性质,引言,DFT相关定理：其中DFT帕什瓦尔定理：,第六章与DFT有关的几个问题,利用DFT计算线性卷积利用DFT进行频谱分析快速傅里叶变换,1.利用DFT计算线性卷积,设x1(n)和x2(n)分别是长度N1和N2的有限长序列，y(n)是其线性卷积，即从上式可以看出，在区间0nN1+N2-2以外，x1(m)和x

2、2(n-m)中总有一个为0，因此y(n)的长度为N1+N2-1。令N=max(N1,N2)，假设X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N点DFT系数，根据DFT的时域卷积性质有其中y(n)称为x1(n)和x2(n)的N点循环卷积。,循环卷积的计算：序列x1(n)=1,2和x2(n)=1,4,3,2,其中N=max(N1,N2)=4。,1.利用DFT计算线性卷积,y1(n)=5,6,11,8,循环卷积的计算：序列x1(n)=1,2和x2(n)=1,4,3,2,其中N=N1+N2-1=5。,1.利用DFT计算线性卷积,0,m,0,m,y1(n)=1,6,11,8,4,0,m,线性卷积的

3、计算：序列x1(n)=1,2和x2(n)=1,4,3,2。,1.利用DFT计算线性卷积,0,y(n)=1,6,11,8,4,如果不是选取N=max(N1,N2)，而是选取NN1+N2-1，那么循环卷积就转化为线性卷积。换句话说，在NN1+N2-1的条件下，N点时域循环卷积的结果将等于x1(n)和x2(n)线性卷积的结果。因此，若有两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，选取NN1+N2-1，且假设X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N点DFT系数，则有,1.利用DFT计算线性卷积,利用DFT计算线性卷积流程图：图中NN1+N2-1。,1.利用DFT计算线性卷积

4、,x1(n),N,长序列卷积的计算：设h(n)长度为M的有限长序列，x(n)是长度不确定的序列，采用重叠相加法计算h(n)与x(n)线性卷积的步骤为：将x(n)分为长度为L的小段分别计算每段的线性卷积重叠相加,1.利用DFT计算线性卷积,y1(n),y2(n),y3(n),0,L,2L,y(n),2.利用DFT进行频谱分析,对于原本就是有限长度的离散时间信号（比如某些统计数据），可以直接利用DFT精确计算它们的频谱。但是实际的连续时间信号和离散时间信号往往具有如下特征：这些信号的持续时间通常都很长，甚至是无限长；这些信号一般都属于随机信号，且对它们往往缺乏足够的先验信息；如果需要对信号进行实时

5、分析，则对分析时间有严格要求。因此，对诸如雷达信号、通信信号和语音信号进行频谱分析时，必需首先进行A/D转换，把它们转换为数字信号，并采用把信号截短或分段处理的方法，实现频谱分析。,利用DFT进行频谱分析流程图：,2.利用DFT进行频谱分析,“混叠效应”,“吉布斯现象”,“栅栏效应”,“频率分辨率”“补零问题”“参数选择”,回忆抽样定理：设x(t)是一带限于M的连续时间信号，即有如果抽样间隔Ts满足则x(t)就能由其样本值序列x(nTs),n=0,1,2唯一地确定。,2.利用DFT进行频谱分析,M,s,根据时域抽样定理，当信号x(t)中包含有M的频率成分时，抽样以后频域中就会产生混叠失真，从而

6、产生频谱分析的误差，称为混叠效应。解决这个问题的唯一方法是让抽样频率fs（fs=s/2）足够高，这就需要预先知道x(t)的最高频率fM。在实际应用中，通常依照具体应用要求或采集设备的能力来确定，并且在选择了抽样频率fs以后，一般都采用抗混叠滤波器来确保无混叠现象发生。,2.利用DFT进行频谱分析,XP(j),HL(j),考察矩形窗函数r2N+1(n)的DTFT：,令m=n+N,随着N的增加，主瓣的高度增加，宽度变窄，即主瓣向直流集中；旁瓣高度也增加，但主瓣与旁瓣的高度比不变，为13.46dB。,2.利用DFT进行频谱分析,设x2N+1(n)为离散时间信号x(n)中的一段这相当于信号x(n)和矩

7、形窗函数r2N+1(n)相乘的结果，即用一个窗函数截取一段信号的方法通常称为信号加窗，上式中的r2N+1(n)就是对信号x(n)矩形加窗的结果。假如有则根据傅里叶变换的频域卷积性质有,2.利用DFT进行频谱分析,由此可见，时域上对信号矩形加窗，在频域上就是原信号的频谱与矩形窗函数的频谱做周期卷积。加窗后的频谱显然不是原信号的频谱，即频谱产生了畸变。,2,2,2,“吉布斯现象”,2.利用DFT进行频谱分析,如果在时域上选用平滑的窗函数来对信号加窗，可以减轻、甚至基本消除加窗后信号频谱的过冲和起伏现象。常用的离散时间平滑窗函数有：汉宁（Hanning）窗汉明（Hamming）窗布莱克曼（Black

8、man）窗,2.利用DFT进行频谱分析,回忆DFT的定义：,（周期延拓）,DFS,DFT,2.利用DFT进行频谱分析,DFT可以看做是由许多窄带带通滤波器组成：,2.利用DFT进行频谱分析,由此可见，N点DFT系数X(k)只是给出了特定频率点0、0、20,(N-1)0上的频谱，并没有给出这些频率点之间的频谱内容，这就好像是通过百叶窗观察窗外的景色，看到的是百叶窗缝隙内的部分景色，无法看到被百叶窗挡住的景色，这就是所谓的“栅栏效应”。相邻频点之间的频率差为：由此可知，f反比于信号的实际长度T，这种定义下的分辨率又称为物理分辨率。,2.利用DFT进行频谱分析,如果信号的实际长度T保持不变，通过增加

9、采样率的方法不能提高f：欲减小f，可以增加信号的实际长度T。例题：信号x(t)由三个正弦信号相加组成，其频率成分f1=2Hz，f2=2.02Hz，f3=2.07Hz，即采样频率fs=10Hz。,2.利用DFT进行频谱分析,设信号的长度T为25.6s，即采样点数为256，频率分辨率f为：其频谱为左下图所示。设信号的长度T为102.4s，即采样点数为1024，频率分辨率f为：其频谱如右下图所示。,2.利用DFT进行频谱分析,如果保持T不变，通过补零的方法增加序列的长度。此时f的值减小，但实际的频率分辨率却并没有减小，把这种定义下的f称为计算分辨率。例题：信号x(t)由三个正弦信号相加组成，其频率成

10、分分别是2.67Hz，3.75Hz，6.75Hz，初相分别为0，90，0，采样频率fs=20Hz。仅取16点数据，得x(n)，n=0,1,15，求其频谱。然后在x(n)后补N个、7N个、29N个零，再分别求其频谱。,2.利用DFT进行频谱分析,2.利用DFT进行频谱分析,f/(Hz),f/(Hz),f/(Hz),f/(Hz),|X(ej)|,|X(ej)|,|X(ej)|,|X(ej)|,参数选择的步骤与方法：如果已知信号x(t)的最高频率fm，为了防止混叠，选定抽样频率fs满足fs2fm；如果不知道信号x(t)的最高频率fm，抽样频率可依照具体的应用要求或采集设备的能力选定，然后采用抗混叠滤

11、波器防止混叠现象发生。根据实际需要选定频率分辨率f，然后即可确定做DFT所需的点数N=fs/f。fs和N确定以后，即可确定所需信号x(t)的长度T=N/fs=NTs。,2.利用DFT进行频谱分析,DFT及IDFT表达式：令,3.快速傅里叶变换,改写为矩阵形式：,3.快速傅里叶变换,DFT的计算量：为了计算N点DFT需要N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法，而每次复数乘法需要四次实数乘法和两次实数加法，每次复数加法需要两次实数加法，因此实现N点DFT总共需要4N2次实数乘法和2N(N-1)+2N2次实数加法。当N=1024时，将需要400多万次的实数乘法和实数加法运算！,3.快速傅里叶变换,1

12、965年，库利（Cooley）和图基（Tukey）首先提出后来被称为快速傅里叶变换（fastFouriertransform,FFT）的DFT快速算法。FFT算法的原理和依据主要有两点，第一点是充分利用WN因子的性质：周期性对称性如果N为偶数，则有可约性,3.快速傅里叶变换,单位圆,利用上述WN因子的性质，4点DFT矩阵可逐步简化如下：周期性对称性由此可见，DFT矩阵可约简化成为大部分元素都是1或-1的矩阵，且非1或-1的元素有重复。随着N的增大，矩阵中1或-1元素的比例近于指数的增长，因此将大大减小DFT的计算量。,3.快速傅里叶变换,FFT算法原理和依据的第二点是：N点DFT运算可分解为两

13、组N/2点DFT运算。令N=2M，M为整数，把N点序列x(n)按照n为偶数和奇数分为两个N/2点序列x(2r)和x(2r+1),而r=0,1,N-1/2,于是有令,3.快速傅里叶变换,则有A(k)和B(k)都是N/2点的DFT,而X(k)是N点DFT，因此用上式表示X(k)并不完全，但是因为因此用A(k)和B(k)能够完全的表示X(k)。按照上述方法继续分下去，直到两点DFT为止：以上算法是将时间n按照奇偶分开，故称为时间抽取算法（decimationintime,DIT）,3.快速傅里叶变换,8点FFT时间抽取算法信号流图：,3.快速傅里叶变换,“级”的概念：因为M=log2N,所以N点DFT可分为M级。,3.快速傅里叶变换,m=0m=1m=2,蝶形单元：,3.快速傅里叶变换,m=0m=1m=2,由于每一级中都含有N/2个蝶形单元，每一个蝶形单元又只需要一次复数乘法和两次复数加法，因此，完成M=log2N级总共需要的