充分、必要、充要条件

1、1.2.1推出与充分条件、必要条件,1、命题：,可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。,2、四种命题及相互关系：,一、复习引入,注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。,引入：若p则q型的命题,（1）若xy，则x2y2（2）若a=0，则ab=0（3）若x21，则x1（4）若x1或x2，则x23x20,判断下列命题的真假,真,真,真,假,推出符号“”的含义,如果命题“若p则q”为真，,如果命题“若p则q”为假，,则记作pq。,则记作pq。,（1）若xy，则x2y2（2）若a=0，则ab=0（3）若x21，则x1（4）若x1或x2，则x23x20,引入：若p则q型的命题,真,真,真,假,1

2、、问题：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水，够吗？,判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假,p：“有水”；q：“鱼能生存”,在、中，即只要有条件p就一定能“充分”保证q成立，这时称p是q成立的充分条件.,2、学生活动：,p：小明是南京人q：小明是中国人p：x5，q：x0；p：AB=A，q：AB；,2、学生活动,q：小明是中国人p：小明是南京人,命题,根据逆否命题,即如果没有q成立,就一定没有p成立,q成立是p成立“必须要有”的条件,称q是p的必要条件.,1若a=0，则ab=02若x21，则x1,在真命题1中，q是p成立所必须具备的前提。在假命题2中，q不是p成立所必须具备的前提,在

3、真命题1中p足以导致q，也就是说条件p充分了。在假命题2中条件p不充分。,在命题中研究条件对结论的制约程度,在命题中研究结论对条件的制约程度,研究以下两个命题,定义1：如果已知p=q,则说p是q的充分条件，q是p的必要条件,如果已知q=p,则说q是p的充分条件，p是q的必要条件,充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=q）的形式,即“有之必成立”。,必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”为真（非q=非p）的形式，即“无之必不成立”。,注：,p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p=q”的不同表达

4、方法。,三、充分条件与必要条件,解：(1)x=1x24x+3=0(2)f（x）=xf（x）为增函数(3)x为无理数x2为无理数,是,是,不是,(1)x=yx2=y2(2)两个三角形全等这两个三角形的面积相等(3)abacbc。,是,是,不是,思考：,已知p：整数a是的倍数，q：整数a是和的倍数，那么p是q的什么条件？,pqp是q的充分条件,qpp是q的必要条件,如果既有p=q又有q=p，就记做pq，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件。,显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。,p与q互为充要条件(或称“p与q等价”),定义2：,“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中

5、“当”表示充分，“仅当”表示必要,注：,称:p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,p与q互为充要条件,(也可以说成”p与q等价”),定义2：,p是q充分不必要条件,p是q必要不充分条件,p是q既不充分也不必要条件,p是q充要条件,全方位考虑p与q的关系,例1、下列各题中，哪些p是q的充要条件?(1)p:b=0q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数(2)p:x0，y0q:xy0(3)p:abq:a+cb+c,解：（1）p是q的充要条件(2)p是q的充分不必要条件。（3）p是q的充要条件,例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既

6、不充分也不必要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的条件.(3)“x=3”是“x2=9”的条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的条件.,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,例3在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,练习1,已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，

7、q是s的充分条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）P是q的什么条件？,充要条件,充要条件,必要条件,pq，相当于pq，即,P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提。,充分条件与必要条件的理解,例3、已知p:,q:,问：p是q的什么条件?,解：易得p:,q:,A是B的真子集，p是q的充分不必要条件,练习2(2006.天津)设集合M=x|0x3,N=x|0x2,那么“aM”是“aN”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,1）aR,|a|3成立的一个必要不充分条件是()A.a3B.|a|2C.a29D.0a2,A

8、,相当于aR,_是|a|3成立的一个必要不充分条件.A.a3B.|a|2C.a29D.0a2,练习3,ab成立的充分不必要的条件是（）A.acbcB.a/cb/cC.a+cb+cD.ac2bc2,D,相当于_是ab成立的充分不必要的条件.A.acbcB.a/cb/cC.a+cb+cD.ac2bc2,练习4,认清条件和结论。,可先简化命题。,将命题转化为等价的逆否命题后再判断。,否定一个命题只要举出一个反例即可。,判别充分条件与必要条件,1.已知p是q的必要而不充分条件，那么p是q的_.,练习3、,充分不必要条件,注、等价法（转化为逆否命题）,2：若A是B的充要条件,C是B的充要条件,则A为C的

9、（）条件A.充要B必要不充分C充分不必要D不充分不必要,例已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：dr是直线l与O相切的充要条件.,分析:设:p:d=r,q:直线L与O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明充分性和必要性即可,【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性即证A=B，证必要性即证B=A一定要使题目与证明中的叙述一致,练习,求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.,【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性即证A=B，证必要性即证B=A,练习：设x、yR，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0,充要条件的证明

10、的两个方面：1、必要性：|x+y|=|x|+|y|xy02、充分性:xy0|x+y|=|x|+|y|3、点明结论,1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.,小结,2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.,小结,3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件.在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.,1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断

11、以单向推出代替双向推出.,注意点,2.搞清A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系,、注意几种方法的灵活使用：定义法、集合法、逆否命题法,充分条件、必要条件的逻辑推理关系,充分非必要条件,必要非充分条件,既不充分也不必要条件,充分且必要条件,一、复习:,二、例题与练习,例1：若指出下列各组命题中，p是q的什么条件？在ABC中,p:AB,q:BCAC;p:a=3,q:(a+2)(a-3)=0;p:a2,q:a5;p:ab,q:a/b1,题型一、充分条件，必要条件，充要条件的判断,二、例题与练习,题型一、充分条件，必要条件，

12、充要条件的判断,练习1(2005.江西)“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,二、例题与练习,例2：P11已知:O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.求证:d=r是直线L与O相切的充要条件,题型二、充要条件的证明,分析:设:p:d=r,q:直线L与O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明充分性和必要性即可,二、例题与练习,题型二、充要条件的证明,练习2:求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.,变式练习:求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.,练习:P13习题1.2B组2,二、例题与练习,例3：方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是()A.0a1B.a1C.a1D.0a1或a0,题型三、充要条件的逆用问题,二、例题与练习,练习4：已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=