自动控制第七章课件

1、7-1离散系统的基本概念7-2信号采样和保持7-3Z变换理论7-4离散系统的数学模型7-5离散系统的稳定性和稳态误差第7章线性离散系统的分析和校正本章的主要内容首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍Z变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统的稳定性和稳态误差分析。本章重点研究本章内容，需要掌握离散系统的基本概念，尤其是采样过程和采样定理、Z变换和Z逆变换及其性质、脉冲传递函数等概念。要求掌握离散系统的稳定性分析和稳态性能计算。离散系统的基本概念在我们前面介绍的系统中，所有的物理变量都是时间T的连续函数，这种时间和幅度上的连续信号通常称为模拟信号或连续信号，由它构成的系统称为模拟控制系统

2、或连续控制系统。如果控制系统中的一个或几个信号不是时间t的连续函数，而是以离散脉冲序列或数字脉冲序列的形式出现，这样的系统称为离散控制系统。系统中的离散信号是脉冲序列的形式。离散系统称为采样控制系统或脉冲控制系统。系统中的离散信号是数字序列的形式。离散系统被称为数字控制系统或计算机控制系统。采样控制系统示例1。炉温采样控制系统，当炉温连续变化时，电位器的输出是一系列脉宽为。典型的采样系统结构图如下图所示。数字控制系统数字控制系统如图所示。第三，离散控制系统的研究方法。在离散系统中，系统的一个或多个信号是脉冲序列或脉冲数，控制过程是不连续的，因此不能采用连续系统的研究方法。研究离散系统的工具是Z

3、变换。通过Z变换，我们可以将传递函数、频率特性和根轨迹法等常见概念应用于离散系统。7-2信号的采样和保持，采样器和保持器是离散系统的两个基本环节。为了定量研究离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程进行数学描述。1.采样过程在一定的时间间隔内对一个连续的信号进行采样，并将其转换成时间上离散的脉冲序列，这种过程称为采样过程。用于实现采样过程的设备称为采样器(采样开关)。1.采样过程可视为调幅过程，采样器相当于一个载频调幅器。调制器的载波是以t为周期的单位理想脉冲序列。采样器的输出信号是输入信号作用于载波的结果。受迫过程的数学描述如下：单位理想脉冲序列表示为：总而言之，采样过程相当于脉冲调制过程，

4、输出信号可以表示为两个函数的乘积。载波信号决定采样时间，即输出函数存在的时刻，而采样信号的幅度由输入信号决定。根据拉普拉斯变换的位移定理，可以得到采样信号的拉普拉斯变换。根据拉普拉斯变换的位移定理，可以得到采样信号的拉普拉斯变换。根据拉普拉斯变换的位移定理，采样信号的拉普拉斯变换为、2。采样定理连续信号在其定义的时域中的任何时间都有精确的值。采样后，只能给出采样时间的值。在时域，连续信号的信息在采样间隔内丢失。根据信号采样前后的信号频谱变化进行以下分析。假设连续信号的频谱为有限带宽，其最大角频率为。下面分析采样后的频谱。理想的单位脉冲序列是一个周期为t的周期函数，它可以展开成傅立叶级数形式：对

5、采样信号在采样角频率上用傅立叶系数在方程的两边进行拉普拉斯变换，从拉普拉斯变换的复位移定理得到采样信号的傅立叶变换：凌，得到采样信号的傅立叶变换；研究采样信号的频谱，以找出e*(t)和e(t)之间的差异。连续信号的频谱是单个连续频谱，其最大角频率为。信号采样后的频谱是以采样角频率为周期的无限个频谱的总和。当n=0时，它被称为采样信号的主频谱(采样频谱的主要成分)，这与连续信号的频谱形状一致，但是幅度被上变频1/T倍。除了主频谱之外，采样信号的频谱还包含|n|0的无限数量的附加高频频谱(采样频谱的互补分量)。为了在采样之前再现原始信号，要求采样的光谱彼此不一致。重叠会导致采样信号失真，因此不可能

6、在采样前再现原始信号。采样角频率高，采样角频率低。从以上分析可以看出，如果采样信号能够再现原始的连续信号，离散频谱不应相互重叠，即采样角频率必须满足香农采样定理，这是分析和设计采样控制系统的理论基础。3.实现采样控制的信号保持的另一个重要问题是如何准确地将采样信号恢复为连续信号。理想滤波器理想滤波器在实践中很难实现，因此有必要寻找一种在特性上接近理想滤波器并且能够实现的滤波器，而保持器就是这样一种实用滤波器。保持器是基于时域外推原理的装置。通常，具有常数外推法的保持器称为零阶保持器，而具有线性外推法的保持器称为一阶保持器。在工程实践中，零阶保持器被广泛使用。零阶保持器是一种采用常数外推法的保持

7、器，它将前一个采样时间nt的采样值E (nT)保持到下一个采样时间(n 1)T而不增加或减少。零阶保持器将采样信号转换成梯形信号。如果梯形信号的中点被连接，则可以获得在形状上与连续信号一致但在时间上落后T/2的响应E (t-T/2)，这反映了零阶保持器的相角滞后特性。零阶保持器的传递函数和频率特性单位脉冲响应函数可以分解为两个单位阶跃函数的和，并且拉普拉斯变换可以用于获得零阶保持器的传递函数阶。如果零阶保持器的频率特性用采样角频率来表示，则上述公式可以表示为、零阶保持器具有以下特性：1)低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增加而迅速衰减，这说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想的滤波

8、器特性相比，零阶保持器不仅允许主要频谱分量通过， 而且还允许一些高频频谱分量通过，导致高频带中数字控制系统的输出频谱出现纹波。 2)相位滞后特性：从相位-频率特性可以看出，零阶保持器会产生相位滞后，相位滞后随着相位滞后的增大而增大，相位滞后可达-180，这使得系统的稳定性变差。Z变换理论，Z变换是从拉普拉斯变换派生出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。1.z变换定义了采样信号e*(t)的拉普拉斯变换，由于不便于计算s的超越函数，在上述公式中引入了一个复变量，采样信号的z变换为、(1)E(z)与E*(s)之间的关系。上述公式表明，z变换e (z)是拉普拉斯变换E*(s (2)表示

9、定时变量，因此这意味着表示定时变量。correspon第二，Z变换方法从前面的介绍中，我们可以知道采样信号的Z变换可以通过：但是这种方法太复杂了。常用的Z变换方法有级数求和法和部分分式法。1级数求和法级数求和法是直接根据Z变换的定义将E(z)写成展开式：只要知道连续函数e(t)在每个采样时刻的值e(nT)，就可以根据上面的公式得到E(z)。这种级数展开式是一种带有无限项的开放形式，但普通函数的Z变换通常可以写出它的封闭形式。例如，求1(t)的Z变换解，因为1(t)的值在每个采样时间都是1，所以无穷级数是收敛的。利用等比例级数的求和公式，我们可以得到Z变换解的封闭形式，它与上述公式的两边相乘，得

10、到(1)减(2)，如我们所知：a=1，T=0.5，也就是说，每个部分分数都是Z变换表中相应的标准函数，它的Z变换可以在表中查找。例如，如果一个连续函数的拉普拉斯变换是已知的，试着找到相应的Z变换E(z)。将E(s)展开成部分分数：逐项查找z变换表，得到z变换的性质。应用z变换的基本定理可以使z变换的应用变得简单方便。Z变换的性质在许多方面与拉普拉斯变换的性质相似。常用的Z变换如下：1线性定理如果A和B是常数，那么2实位移定理实位移意味着整个采样序列在时间轴上的几个采样周期内左右平移，其中左平移领先，右平移滞后。实数位移定理表示如下：如果函数e(t)是Z可变换的，并且它的Z变换是E(z)，那么就

11、有一个滞后定理。推进定理3复数位移定理如果函数e(t)是Z可变换的，并且它的Z变换是E(z)，那么就有一个4端值定理。在卷积定理中，x(nT)和y(nT)(no，1，2)是两个采样信号序列，其离散卷积定义为，那么卷积定理可以描述为：在时域中，如果需要在z域中，应该注意的是：z变换仅反映采样点的信号信息，而不能描述采样点之间的信号状态。4.Z逆变换Z变换表达式E(z)是已知的，并且找到相应的离散序列e(nT)的过程被称为Z逆变换，其被记录为：1部分分式方法(表查找方法)部分分式方法也被称为表查找方法。根据已知的E(z)，通过查找Z变换表找出相应的e*(t)或e(nT)。考虑到在Z变换表中所有的Z

12、变换函数E(z)在其分子中都有因子Z，通常将E(z)/z展开为部分分数的和，然后将分母中的Z乘以每个分数，然后逐项查找该表进行逆变换。例如，尝试部分分式方法来找到它的z逆变换。首先，将解展开成部分分数，即把部分分数中的每个项乘以一个因子Z，我们可以得到：查一下Z变换表，最后我们可以得到：2幂级数法(综合除法)。如果E(z)是有理分式，我们可以通过长除法直接得到无穷幂级数的展开式，并以幂递减的形式排列。也就是说，分子除以分母，商以幂递减的形式排列，因此结果通常是开放式的。例如，尝试幂级数方法来寻找它的z逆变换。解决方法是用长除法，用分母去除分子，即研究离散系统的性能，必须建立离散系统的数学模型。

13、线性离散系统有三种数学模型：差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式。本节重点介绍脉冲传递函数的定义，以及开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法。一、脉冲传递函数1脉冲传递函数的定义如图所示设置离散系统。线性时不变离散系统的脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换C(z)与z变换的比值上式表明，如果已知R(z)和G(z)，线性时不变离散系统的输出采样信号是：实际上，许多系统的输出是连续信号c(t)，如图所示。在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在系统的输出端虚拟一个开关，如图中的虚线所示。它与输入采样开关同步工作，采样周期相同。必须指出，虚拟采样开关不存在。它只表明脉冲传递函数

14、只能描述采样时输出连续函数c(t)的离散值c*(t)。从传递函数中寻找脉冲传递函数传递函数的逆拉变换是脉冲响应函数，它将被离散化以获得脉冲响应序列，该序列将通过Z变换获得。这个转换过程可以表示如下：上面的转换过程表明，只要G (s)表示为Z转换表中的标准形式，就可以通过直接查找表来获得G(s)。G(z)可以用z变换表直接从G(s)中得到，所以它通常表示为G(z)=ZG(s)，称为G(s)的z变换。该表达式应理解为根据上述过程找到对应于G(s)的G(z)，但不能理解为G(z)与G(s) 2相反。开环系统的脉冲传递函数1当串联链路之间有采样开关时，脉冲传递函数定义脉冲传递函数，其中，和分别为和。因

15、此，开环系统的脉冲传递函数公式表明，由理想采样开关串联而成的两个线性连续环节的脉冲传递函数等于它们各自脉冲传递函数的乘积。在串联环节之间没有采样开关的系统的传递函数是：将其作为一个整体进行变换，由脉冲传递函数定义。上述公式表明，无理想采样开关串联的两个线性连续环节的脉冲传递函数等于这两个环节的传递函数乘积后相应的Z变换。这个结论也可以推广到n个链路串联的类似情况。零阶保持器开环脉冲传递函数因此，当存在零阶保持器时，开环系统的脉冲传递函数等价于开环系统。根据Z变换的实位移定理，上述公式的第二项可以写成：3。闭环系统的脉冲传递函数因为采样器可以以多种方式配置在闭环系统中，所以闭环离散系统的结构图不

16、是唯一的。下面描述一个常见的误差采样闭环离散系统。图中虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而设计的。所有理想采样开关同步工作，采样周期为t。闭环离散系统的脉冲传递函数闭环离散系统的误差脉冲传递函数闭环离散系统的特征方程是开环离散系统的脉冲传递函数。需要指出的是，闭环离散系统的脉冲传递函数不能由和z变换直接得到，这是由于闭环系统中采样器的不同配置造成的。使用与上述类似的方法，也可以导出具有不同采样器的闭环系统的脉冲传递函数。然而，只要在误差信号e(t)处没有采样开关，输入采样信号r*(t)就不存在，并且不可能计算闭环离散系统的脉冲传递函数，而只能计算输出采样信号的Z变换函数C(z)。让我们看一下

17、图中所示的闭环离散系统的结构图，并试图证明闭环脉冲传递函数可以通过求解上述联立方程和消除中间变量来证明。取如图所示的闭环离散系统结构图，并尝试证明其输出采样信号的Z变换。如同线性连续系统分析一样，稳定性和稳态误差是线性时不变离散系统分析的重要内容。本节主要讨论如何在Z域和W域分析离散系统的稳定性，并给出一种计算离散系统稳态误差的方法。1.离散系统的稳定性分析为了将s平面上线性连续系统的稳定性分析结果移植到z平面上、7-5离散系统的稳定性和稳态误差，以及在S域中的任何点可以表示为映射到Z域的模和振幅，它们分别是S平面中的虚轴。上面的公式表明，S平面中的虚轴映射到单位圆，其中心在Z平面中的原点。当从-变为时，Z平面中的轨迹沿单位圆旋转了无限多次。根据S场到Z场的映射关系