第六章--概率分布.ppt

1、第六章概率分布,1、后验概率（统计概率）随机事件A在n次试验中出现m次，m与n的比值，就是随机事件A出现的频率。,一、概率的定义,2、先验概率（古典概率）古典概率模型要求满足两个条件：实验的所有可能结果是有限的每一种可能结果出现的可能性相等。,二、概率的基本性质,（一）概率的公理1任何一个随机事件的概率都是非负的。0P（A）12不可能事件的概率等于零。3必然事件的概率等于1。,（二）概率的加法定理互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件发生，则事件就一定不发生，这样的两个事件为互不相容事件。加法定理(additiverule)：两互不相容事件A、B之和的概率，等于这两个事件概率之和。即,（三）

2、概率的乘法定理独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出现不发生影响。相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现而改变。,乘法定理(productrule)：两个独立事件同时出现的概率等于这两事件概率的乘积。,（1）按随机变量是否具有连续性来分类，可分为离散分布（二项分布、泊松分布、超几何分布）与连续分布（正态分布、负指数分布、威布尔分布）。（2）按分布函数的来源来分类，可分为经验分布与理论分布。（3）按概率分布所描述的数据特征来分类，可分为基本随机变量分布与抽样分布。,概率分布的类型,第二节正态分布（高斯分布）,一、正态分布特征（一）正态分布曲线函数正

3、态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般方程为,（二）正态分布的特征1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过平均数点的垂线。2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸，但终不能与基线相交。,3.正态曲线下的面积为1，由于它在平均数处左右对称，故经平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，各为0.50。（4）正态分布是一族分布。它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同有不同的分布形态。,（5）正态分布中各种差异量数的值皆有固定的比率。（6）在正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关

4、系。如：正负一个标准差之间，包含总面积的68.26%；正负1.96个标准差之间，包含总面积的95%；正负2.58个标准差之间，包含总面积的99%；正负3个标准差之间，包含总面积的99.74%。,正态分布的特征,二、正态分布表的编制与使用,（一）正态分布表的编制与结构正态分布表的结构一般包括三栏第一栏：Z分数单位；第二栏：密度函数或比率数值（y）；第三栏：概率值（p）。,（二）正态分布表的使用1.依据Z分数求概率p，即已知标准分数求面积。求某Z分数值与平均数（Z=0）之间的概率。求某Z分数以上或以下的概率。求两个Z分数之间的概率。,例1,（1）求某Z分数与平均数（z=0）之间的概率直接查表,例2

5、,（2）求某Z分数以上或以下的概率eg：求Z=1以上或以下的概率解：Z=1时，p=0.34134z=1以上概率为0.5-0.34134，z=1以下概率为0.5+0.34134,1,例3,（2）求某Z分数以上或以下的概率eg：求Z=3.24以上的概率解：Z=3.24时，p=？z=1以上概率为0.5-0.34134，,例4,（3）求两个z分数之间的概率eg：求z=3.24和z=-1.74之间的概率解：先求出两个z分数分别的概率，若两个z为同号，则用较大概率减较小概率；若两个z分数为一正一负，则两个概率相加,2.从概率p求Z分数，即从面积求标准分数值。已知从平均数开始的概率值求Z值（直接查表）。已知

6、位于正态分布两端的概率值求该概率值分界点的Z值（0.5-p，然后查表）。若已知正态曲线下中央部分的概率，求Z分数是多少(,然后查表，z为正负两个值）。3.已知概率p或Z值，求概率密度y，即正态曲线的高（直接查表，要注意p为中间部分还是两段部分）。,偏态量数公式当SK=0时，分布对称；当SK0时，分布属正偏态；当SK0时，分布属负偏态。,次数分布是否正态的检验方法：1皮尔逊偏态量数法,（二）峰度、偏度检验法1.偏度系数当g1=0时分布是对称的；当g10时，分布为正偏态；当g1200时，这个偏态系数的统计量g1才较可靠。,2.峰度系数当g2=0时，正态分布的峰度；g20时，分布的峰度比正态分布的峰

7、度低阔；g21000时，g2值才比较可靠。,（三）累加次数曲线法正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。,四、正态分布理论在测验中的应用（一）化等级评定为测量数据将等级评定转化为测量数据，首先要考虑被评定的心理量是否为正态分布。将等级评定转化为测量数据的方法是用各等级中点的Z分数代表该等级分数。,具体步骤根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率；求各等级比率值的中间值，作为该等级的中点；求各等级中点以上（或以下）的累加比率；用累加比率查正态表求Z值，该Z分数就是各等级代表性的测量值；求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数，即为每个被评定者的综合评定

8、分数。,表6-23名教师对100名学生的评定结果,【例6-2】表6-2是3位教师对100名学生的学习能力所作等级评定的结果。表6-3是3名学生从3位老师那儿获得的评定等级，试将其转化为Z分数。,表6-3各学生所获得的评定等级,表6-4化等级评定为Z分数,学生1的平均成绩：(0.94+1.65+1.28)/3=1.29学生2的平均成绩：(1.96+0.84+1.28)/3=1.36学生3的平均成绩：(0.94+00.32)/3=0.42,（二）确定测验题目的难易度,确定题目难度分数的具体步骤计算各题目的通过率；用0.5减去通过率，不计正负号，获得正态分布表中的概率值（p）；依照p值查正态表中相应

9、的Z值，通过率大于50%的Z值计为负值，通过率小于50%的Z值计为正值；将查表得到的Z分数加上5便得到从010的十进制的难度分数值。,表6-5难度分数的计算,（三）在能力分组或等级评定时确定人数将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z分数等距；查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等距的情况下应有的比率；将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分组该有的人数。,表6-6能力分为五组时各组人数的分布,【例6-3】要把100人在某一能力上分成5个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？,（四）测验分数的正态化,正态化的步骤当原始分数不服从正态分布时，先将原始分数的频数转化为相对累积频数

10、(百分等级)，将它视为正态分布的概率；然后，通过查正态分布表中概率值相对应的Z值，将其转换成Z分数，达到正态化的目的。原始分数正态化的前提条件：研究对象的总体事实上应该是正态分布,T分数(Tscores)是从Z分数经过转化而来的一种正态化的标准分数。T=10Z+50T分数计算步骤第一步：将原始分数正态化；第二步：把正态化的Z值代入T值公式加以直线转换。,第三节二项分布,一、二项试验与二项分布（一）二项试验二项试验：贝努里试验，必须满足以下几个条件：1.任何一次试验恰好有两个结果，成功与失败，或A与。2.共有n次试验，且n是预先给定的任一正整数。3.每次试验各自独立，各次试验之间无相互影响。4.

11、某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的。,（二）二项分布二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称两个对立事件的概率分布。二项分布同二项定理有着密切的关系：x=0,1,n;n为正整数。,二项分布的具体定义设有n次试验，各次试验是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q(q=1p)，则对于某事件出现X次(0,1,2,n)的概率分布为：,【例6-4】10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少？五次及五次以上正面向上的概率是多少？,二项展开式的要点：项数：二项展开式中共有n1项。方次：p的方次，从n0为降幂；q的方次从0n为升幂。每项p与

12、q方次之和等于n。系数：各项系数是成功事件次数的组合数。,解：（1）根据题意，n=10，p=q=1/2，X=5,（2）五次及五次以上正面向上的概率,二、二项分布的性质（一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式。因为X为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象。,1.当p=q时，图形是对称的。2.当pq时，直方图呈偏态，pq与pq的偏斜方向相反。如果n很大，即使pq，偏态逐渐降低，最终呈正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。当pq且np5，或pq且nq5时，二项分布就可以当做一个正态分布的近似形。,（二）二项分布的平均数与标准差如果二项分布满足pq，np5，（或pq且n

13、q5）时，二项分布接近正态分布。这时，二项分布的X变量（即成功的次数）具有如下性质：=np，即X变量为=np，的正态分布。,三、二项分布的应用解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题是指在实验或调查中，实验结果可能是由于猜测而造成的。,【例6-6】有10道正误题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素？,解：已知猜对与猜错的概率为p=q=0.5，np=5，此二项分布接近正态分布，故：根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95%。如果用原分数表示，则为+1.645=5+1.6451.58=7.6=8,二项分布函数计算结果答对8道题及其以上的总概

14、率,【例6-7】有10道多重选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的。问答对几道题才能说不是猜测的结果？,一、正态分布及渐进正态分布二、t分布三、X2分布四、F分布,一、正态分布及渐进正态分布,当统计量的分布符合正态分布或渐近正态分布时，进行统计推论的理论依据即为正态分布的理论。以样本平均数为例，正态分布的应用情形如下。,1、1.总体分布为正态，方差(2)已知，样本平均数的分布为正态分布。根据中心极限定理则有：样本均数的均数等于总体均数，即样本均数的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根，即差异检验值为,样本平均数的方差,2、2.总体分布非正态，但2已知，这时当样本足够大时（n30），其

15、样本平均数的分布为渐近正态分布。根据中心极限定理，亦有样本均数的均数等于总体均数：样本均数的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根：检验值：,第四节抽样分布,区分三种不同性质的分布：总体分布：总体内个体数值的频数分布。样本分布：样本内个体数值的频数分布。抽样分布：某一样本统计量的概率分布。,（二）方差及标准差的分布当n足够大时（n30），样本方差及标准差的分布，渐趋于正态分布,二、t分布t分布：是由小样本统计量形成的概率分布t分布是一种左右对称、峰态比较高狭，分布形状随样本容量n1的变化而变化的一族分布。,（二）t分布表的使用t分布表由三方面的数值构成，即t值、自由度和显著性水平。双侧概率通

16、常写作t/2，单侧概率写作t。t值越大，p值越小。,t0.01=2.086t0.02/2=2.086t0.01/2=2.750,（三）样本平均数的分布1.总体分布为正态，方差(2)未知时，样本平均数的分布为t分布。,2.当总体分布为非正态而其方差(2)又未知时，若满足n30这一条件，样本平均数的分布近似为t分布。,三、2分布,（一）分布若n个相互独立的随机变量X1，X2，,Xn，均服从标准正态分布则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和Xi2构成一新的随机变量其分布规律称为(n)分布，其中参数n称为自由度，自由度不同就是另一个分布,此时，2分布的自由度为n。如果正态总体的平均数未知，若用样本

17、平均数作为的估计值时：此时，2分布的自由度为df=n1。,（一）2分布的特点1.2分布是一个正偏态分布。n或n1越小，2分布越偏斜。2分布是一族分布，正态分布是其极限分布。2.2值都是正值。3.2分布具有可加性，即2分布的和也是2分布。2是一个遵从df=df1+df2+dfk的2分布。4.如果df2，2分布的平均数：方差。5.2分布是连续型分布，但有些离散型的分布也近似2分布。,分布概率表（附表12，P475）,2分布曲线下的面积都是1。通过自由度和值求出的概率p为值以上的概率，以下的概率需用0.5-p,四、F分布,两个正态分布的总体，其平均数与方差分别为：及，从这两个总体中分别随机抽取容量为n1及n2的样本，每个样本都可以计算出2值，这样可得到无限多个与，每个2随机变量各除以对应的自由度df1与df2(df1=n1或n11，df2=n2或n21)之比，称为F比率，这无限多个F的分布称作F分布。,F比率为样本方差各除以其总体方差的比率。