第2章 静电场分析

1、第2章静电场分析,2.1电场强度与电位函数2.2静电场的基本方程2.3电介质的极化与电通量密度2.4导体的电容2.5静电场的边界条件2.6恒定电场2.7静电场边值问题习题,2.1电场强度与电位函数,2.1.1库仑定律库仑定律（CoulomsLaw）是静电现象的基本实验定律，它表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力（如图2-1所示），表达式为,（2-1-1）,图2-1两个点电荷的相互作用,2.1.2电场强度1.点电荷的电场强度设q为位于点S(x,y,z)处的点电荷，在

2、其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt，如图2-2所示。根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（lectricFieldIntensity）定义为,（2-1-2）,图2-2场点与源点,为了方便，我们将观察点P称为场点，其位置用不带撇的坐标(x,y,z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源点，其位置用带撇的坐标(x,y,z)或r来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r。在直角坐标系中，R=ax(x-x)+ay(y-y)+az(z-z)，其大小为,。由于,（2-1-3）,因此，式（2-1-2）又可以表达为,（2-1-4）,当空间中同时有n个点电荷时，场点的电场等于各点电

3、荷qi在该点产生的电场强度的矢量和，即E=E1+E2+En=,（2-1-5）,2.分布电荷的电场强度上述的分析，我们假设电荷是集中在一个点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布在一段线上、一个面上或一个体积内的，因此，我们先定义电荷分布。线电荷密度（ChargeLineDensity）：当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷,（2-1-6）,式中，q是长度元l上的电荷。,面电荷密度（ChargeArealDensity）：当电荷分布在一个表面上时，定义面电荷密度为单位面积上的电荷,（2-1-7）,式中，q是面积元S上的电荷。,图2-3体电荷产生的场

4、,体电荷密度（ChargeVolumeDensity）：如果电荷分布在一个体积空间内，定义体电荷密度为单位体积内的电荷,（2-1-8）,式中，q是体积元V内所包含的电荷。,下面我们来讨论分布电荷所产生的电场强度。设电荷以体密度V(r)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV如图2-3所示，其电荷量dq=V(r)dV，我们将其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为,体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为,用类似的方法可求得电荷分布为S(r)和l(r)时电场强度的表达式分别为,（2-1-10）,（2-1-11）,式（2-1-9）、（2-1-10）和（2-1-11）称为电场强度的矢量积分

5、公式。当我们已知电荷分布时，就可由它们求得其电场强度。,【例2-1】有限长直线l上均匀分布着线密度为l的线电荷,如图2-4所示，求线外一点的电场强度。,图2-4有限长直线电荷的电场,图2-5无限长线电荷的场,2.1.3电位函数在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为,（2-1-13）,当电荷不延伸到无穷远处时，一般把电位参考点Q选在无限远处，这将会给电位的计算带来很大的方便。这时，任意P点的电位为,（2-1-14）,将式（2-1-2）代入上式得点电荷的电位表达式为,（2-1-15

6、）,这就是点电荷产生的电位。上式中隐含无穷远处电位为零。将（2-1-4）写成如下形式：,不难发现，电位与电场强度有如下关系E=-,（2-1-16）,如果电荷以体密度V(r)分布于体积V内，在式（2-1-9）中，将积分（对带撇的变量积分）与微分（对不带撇的变量微分）符号互换，得,（2-1-17）,类似的方法可得电荷分布为S(r)和l(r)时电位函数（ElectricPotentialFunction）的表达式分别为,（2-1-18）,（2-1-19）,式（2-1-17）至式（2-1-19）都是将参考点选在无穷远处。,【例2-2】真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算球内外的电位与电

7、场强度。,图2-6孤立带电导体球的场,图2-7带电导体球的场分布,2.1.4电偶极子电偶极子(ElectricDipole)是指相距很近的两个等值异号的电荷。设每个电荷的电量为q，它们相距为d，如图2-8所示。现在我们选用球坐标来求电偶极子在点P的电位及电场。根据点电荷电位的表达式，电偶极子在P点的电位为,图2-8电偶极子的场,当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小,即rd时，r1,r2,r三者近乎平行，因此有r1-r2dcosr1r2r2将其代入上式得电偶极子的电位表达式为,（2-1-20）,我们定义电偶极矩矢量(DipoleMomentVector)p的大小为p=qd，方向由负电荷指向正

8、电荷，即p=azqd（2-1-21）则P点的电位可以写成下列形式:,（2-1-22）,对式（2-1-20）取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为,(2-1-23),图2-9电偶极子的电场线,2.2静电场的基本方程,2.2.1电通（量）和电通（量）密度把一个试验电荷qt放入电场中，让它自由移动，作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，这个路线我们称之为力线（LineofForce）或通量线(FluxLine)。,若把电荷放在不同的位置，就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为地规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小，于是说场线(FieldLine)表示

9、电通量(ElectricFlux)。虽然电通线实际上不存在，但它们可以直观、形象地描绘电场的分布，如图2-10所示。,图2-10孤立正电荷的电通,早期研究发现，电通量有如下特性：（1）与媒质无关；（2）大小仅与发出电通量的电荷有关；（3）如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面；（4）单位面积上的电通量，即电通密度，反比于R2。,而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外，也满足这些约束，因此可以用电场强度定义电通密度（ElectricFluxDensity）D为D=0E（2-2-1）显然，点电荷q在半径R处的电通密度为,D的单位为C/m2（库仑/平方米）。,由矢量分

10、析得：穿过某个曲面S的电通量定义为,（2-2-3）,如果D与dS方向相同，则穿过曲面S的电通量最大。,2.2.2高斯定律设在无限大真空中O点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为,（2-2-4）,式中d是表面dS在O点所张的立体角。,由于任何封闭面对曲面内的一点所张的立体角都是，所以通过曲面S的总电通量为,（2-2-5）,如果电荷的总量为Q，并以体密度V分布在闭合面包围的体积内，则式（2-2-5）可以写成,（2-2-6）,式（2-2-6）表明，如果已知封闭面上的电场强度或电通密度，通过高斯定律便可求出封闭面内的总电荷。如果电荷呈对称分布，则很容易选择一个恒电通密度

11、的面，从而用高斯定律大大降低分析电场问题的难度。应用散度定理，式（2-2-6）也可写成,因此，有D=V（2-2-7）,如果在真空中，式（2-2-7）还可以写为,（2-2-8）,在介电常数为的介质中有,（2-2-9）,【例2-3】用高斯定律求无限长线电荷l在任意P点产生的电场强度。,图2-11无限长线电荷的场,2.2.3电场强度的环量设电场强度为E，l为场中任意闭合路径，电场强度沿闭合路径的积分称为环量。根据斯托克斯定理有,即,（2-2-10）,（2-2-11）,2.3电介质的极化与电通量密度,理想的电介质（IdealDielectric）内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚

12、着，因此称为束缚电荷(BoundCharge)。,就物质的分子结构来讲，电介质的分子可以分成无极分子和有极分子两大类。在通常情况下，无极分子正负电荷的作用中心是重合的，如图2-12（a）所示，有极分子正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子，但由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零，因而对外不呈现电性。,但在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作用中心不再重合，有极分子的电矩发生转向，这时它们的等效电偶极矩的矢量和不再为零,如图2-12（b)所示。这种情况称为电介质的极化(Polarized)。极化的结果是在电介质

13、的内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于介质外的电场。,图2-12电介质的极化(a)正常状态下正负电荷中心重合；(b)极化电介质的等效电偶极矩,设介质在外电场作用下发生了极化，为了描述介质极化的状态，引入极化强度矢量。在极化电介质中取一小体积V,则V内的电矩总和记为p，定义单位体积内的电偶极矩为极化强度矢量(PolarizationIntensityVector),即,(2-3-1),如果pav表示V内每个分子的平均偶极矩，N是每单位体积内的分子数，则极化强度也可以表示为P=Npav（2-3-2）在线性、均匀、各向同性的介质中，极化强

14、度与电场强度满足下列关系：P=e0E（2-3-3）,图2-13极化电介质外一点的场,如图2-13所示，极化介质内取一微小体积元dV，dV内电偶极矩为dp=PdV，电偶极矩dp在P点产生的电位相当于一个电偶极子产生的电位，其表达式为,（2-3-4）,考虑到，则式（2-3-4）又可以写成,（2-3-5）,利用矢量恒等式,式（2-3-5）可以表达为,因此，整个极化电介质在P点所产生的电位表达式为,（2-3-6）,式（2-3-6）表明，极化介质在P点产生的电位是两项的代数和。我们定义Sb=Pan（2-3-7）为束缚面电荷密度，Vb=-P（2-3-8）为束缚体电荷密度，于是式（2-3-6）可写成,（2-

15、3-9）,束缚电荷密度的产生是由于无极分子电荷对的分离和有极分子电偶极矩的有序排列。如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介质中的电场E是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果，即,也就是(0E+P)=V（2-3-10）,式（2-3-10）右边仅有自由体电荷密度一项。当我们讨论自由空间的电场时，曾经得到电通量密度的散度等于自由电荷密度，即D=V。事实上，在自由空间极化强度P=0，对比式（2-2-7）,式（2-3-10）仍然是成立的。因此，我们给出任意媒质中的电通量密度的定义：D=0E+P=0E+e0E=r0E=e（2-3-11）,在自由空间中，r=1，因此有D=0E。在任意介质中，静电场

16、满足下列方程式:,（2-3-12）,（2-3-13）,（2-3-14）（2-3-15）,2.4导体的电容,在很多情况下，电荷分布在导体上或导体系统中，因此导体是储存电荷的容器。储存电荷的容器称为电容器(Capacitor)。实际上，相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体都可构成电容器，如图2-14所示。,图2-14任意形状导体构成的电容,一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比定义为电容(apacitance)，其表达式为,(2-4-1),式中，C表示电容，单位为F（法拉）；Qa表示导体a的电荷，单位为C（库仑）；Uab表示导体a相对于导体b的电位，单位为V（伏特）。,上面讨论的是由两

17、个平板导体构成的电容器的电容。图2-15所示的两根平行双导线及同轴线内外导体间的电容也可仿此导出。,图2-15双导线与同轴线的电容(a)双导线；(b)同轴线,如图2-15(a)所示的平行双导线，每根导线的直径为d，双导线间的距离为D，其间充填有介质。设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度为,将上式积分即得双导线间的电压:,根据电容的定义得平行双导线单位长度的电容为,(2-4-2),如图2-15(b)所示的同轴线内、外导体的半径分别为a和b，其间充填有介质，类似的推导可得同轴线单位长度的电容为,(2-4-3),图216四导体系统的电容,2.5静电场的边界条件,2.5.

18、1电通量密度D的法向分量在介电常数分别为1与2的媒质1与媒质2的分界面上作一个小的柱形闭合面，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1,如图2-17所示。因柱形面上、下底的面积S很小，故穿过截面S的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h0，则其侧面积可以忽略不计。,图2-17电通量密度的边界条件,设分界面上存在的自由面电荷密度为S，根据高斯定理，有,n(D1-D2)=S（2-5-1）,或D1n-D2n=S（2-5-2）,由于D=E，因而有1E1n-2E2n=S（2-5-3）将E=-代入式（2-5-3）得到用电位函数表示的边界,（2-5-4）,当分界面在两种不同介质之间时，若非特意放置，分界面上一般

19、不存在自由面电荷，此时，穿过介质分界面的电通量密度的法向分量是连续的，即D1n=D2n（2-5-5）或1E1n=2E2n（2-5-6）或,（2-5-7）,当媒质2为导体时，由静电场条件D2必然为零。若媒质1中存在着D1的法向分量，则导体表面必然存在自由面电荷密度，即D1n=S（2-5-8）或1E1n=S（2-5-9）或,（2-5-10）,2.5.2电场强度E的切向分量由于静电场是保守场，因此。将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda，如图2-18所示。,图218电场强度的边界条件,图2-18中，ab和cd的长度为l，ab的方向为at，闭合路径所包围的矩形平面的方向为s，bc和da

20、的长度为h，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1，显然有sn=at。当h0时bc和da对积分的贡献可忽略不计，因此有,所以at(E1-E2)=0（2-5-11）或E1t=E2t（2-5-12）上式表明，分界面上电场强度的切向分量总是连续的。式（2-5-11）又可以写成(sn)(E1-E2)=0由矢量恒等式(AB)C=A(BC),因此，分界面上电场强度的矢量形式的表达式为n(E1-E2)=0（2-5-13）将式（2-5-12）写成电位的形式有1=2（2-5-14）式（2-5-14）表明，两种不同媒质的分界面上电位是连续的。,2.5.3分界面上电场的方向设分界面两侧的电场与法线n的夹角分别为1和2

21、，如图2-18所示，则式（2-5-6）和（2-5-12）又可以写成1E1cos1=2E2cos2和E1sin1=E2sin2，将两式相除得,（2-5-15）,式（2-5-15）表明，一般情况下，在两种不同介质的分界面上，电场强度E和电通量密度D一定会改变方向，只有当1或2等于零时，分界面上的电场方向才不改变，像平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。,图2-19平行板电容器,【例2-4】图2-19所示平行板电容器的长和宽分别为a和b，板间距离为d，电容器的一半厚度(0-d/2)用介电常数为的玻璃填充，另一半为空气。若板上外加电压为U0:（1）分别求出有介质填充(0-d/2)区域和无填充(d

22、/2-d)区域中的电场强度;,（2）板上及分界面上的自由面电荷密度、束缚电荷密度;(3）电容器的电容量;（4）若玻璃的相对介电常数r=7，绝缘强度为60kV/cm，空气的绝缘强度为30kV/cm，板间距离为d=0.5cm，当两极板间接电压为10kV时电容器是否会击穿？,【例2-5】如图2-20所示的无限大平板电容器一半为空气，另一半为介电常数=60的介质。设电容器外加电压为U0，板间距离为d，试求空气和介质中的电通量密度的比值。,图2-20平板电容器,2.6恒定电场,2.6.1电流与电流密度设空间分布的电荷在电场作用下作定向运动，则该体积空间中就存在电流。我们任取一个面积S，如果在t时间内穿过

23、S的电量为q，则电流的大小定义为,（2-6-1）,图2-21体电流密度,假定体电荷密度为V的电荷以速度v沿某方向运动，如图2-21所示。设在垂直于电荷流动的方向上取一面积元S，若流过S的电流为I，则定义矢量J的大小为,（2-6-2）,J的方向规定为正电荷的运动方向，单位为A/m2（安/平方米）。矢量J称为电流密度矢量(CurrentDensityVector)。因为它描述电流在体积空间中流动的情况，一般称之为体电流密度。显然，电荷流动的空间是一个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流量为,（2-6-3）,式（2-6-3）表明，电流密度J与电流I的关系是一个矢量场与它的通量的关系；或者说电流是

24、电流密度矢量场的通量。,现在我们来说明电流密度矢量与电荷密度的关系。设体电荷密度V在t时间内流过的距离为l，如图2-21所示，圆柱形体积内总的电荷为q=VlS，而q在t时间内全部通过面积S，故穿过面积S的电流为,式中，v为电荷流动的速度。,由电流密度的定义得J=Vv将上式写成矢量表达式为J=Vv（2-6-4）式（2-6-4）表明，体电流密度的大小正比于体电荷密度与其运动速度的乘积，电流密度的方向就是电荷运动的方向。,图2-22面电流密度,如果电流只分布于导电媒质的表面，我们可以用面电流密度来描述，如图2-22所示。我们在垂直于电荷流动的方向上取一线元l，若流过线元l的电流为I，则定义面电流密度

25、矢量（CurrentArealDensityVector）JS的大小为,（2-6-5）,JS的方向仍为正电荷的运动方向，单位为A/m（安/米）。,同样可得面电流密度与电荷密度的关系为JS=Sv（2-6-6）注意面电流与体电流概念的区别：面电流是在厚度为零的表面上流动的电流，其所占体积为零，这实际上是一种抽象的概念；体电流密度是分布于体积内的有限值，在厚度为零的表面上流过的电流只能为零，否则将会得到体电流密度为无穷大的后果。,2.6.2恒定电场的基本方程根据电荷守恒定律，电荷既不能产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，因此从任意闭合面S流出的电流应等于由S所包围的体积V中单位时

26、间内电荷减少的数量，即,（2-6-7）,式（2-6-7）称为电流连续性方程(EquationofCurrentContinuity)的积分形式。,应用散度定理，式（2-6-7）可改写为,由于所考察的体积是任意的，因而有,（2-6-8）,式（2-6-8）称为连续性方程的微分形式，它表明电荷密度V随时间变化的点为体电流密度J的源点。对于流过恒定电流（直流）的导电媒质，其中电荷密度不随时间变化，此时电流连续性方程简化为,（2-6-9）（2-6-10）,式（2-6-9）表明，通过任一闭合曲面的净恒定电流为零，式（2-6-10）则表明导电媒质通过恒定电流时，其内部电流密度是无散或连续的。由于电流恒定时，

27、电荷分布V不随时间变化，所以恒定电场必定与静止电荷产生的静电场具有相同的性质，即它也是保守场，或者说恒定电场沿任一闭合路径的积分等于零，即,E=0(或E=-)（2-6-11）,实验证明,在导电媒质中，电流密度与电场强度有如下关系:J=E（2-6-12）式中，为导电媒质的电导率(onductivity)，其单位是S/m（西门子/米），式（2-6-12）也称为欧姆定律的微分形式(DifferentialFormofOhmsLaw)，它表明电流密度与电场强度成正比，对于线性媒质（以后不作特别声明，均指线性媒质），J与E的方向相同。,当电流密度J已知时，电场强度可以表示为,将式（2-6-12）与E点积

28、，得导体内单位体积内的功率损耗为,（2-6-13）,一般称式（2-6-13）为焦耳定律(JoulesLaw)的微分形式。,综上所述，恒定电场基本方程的积分形式和微分形式分别为,2.6.3接地电阻无线电仪器设备或电气装置常需要接地。所谓接地，就是将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接，这种埋在地内的导体或导体系统称为接地体或接地电极。电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接地电阻（GroundResistance）。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近电流密度最大，因此，接地电阻主要集中在电极附近，如图2-23所示。,图2-23接

29、地电阻,参照图2-23，设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点的电流密度为,相应的电场强度为,由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处，电流在大地中的电压为,故得接地电阻为,（2-6-14）,【例2-6】一个半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，如图2-24所示。已知土壤的导电率=10-2S/m。求：（1）接地电阻；（2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m米的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率。,图2-24接地电阻及跨步电压,2.6.4电动势电场是驱使电荷运动不可缺少的。以金属为例，金属中质量

30、较大的正离子，在晶格(CrystalLattice)中的正常位置是相对固定的，无助于形成电流。因此金属中的电流是自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成的（等效为正电荷沿电场方向运动，如图2-25所示）。,图2-25导电回路中的电场,电流是静电力与非静电力共同作用的结果，于是，包含电源的欧姆定律的微分形式为,（2-6-15）,这就是说，含电源的闭合回路中的总电场为E+E，若回路中有恒定电流I且是均匀分布的，则相应的总功率为,定义,（2-6-16）,假设导电媒质是均匀的，导电率为常数，由基本方程J=0，可得E=0，乘以导电媒质的介电常数得D=0（2-6-17）,2.6.5边界条件根据恒定电场基本方

31、程，用与静电场的边界条件相似的推导可得：在两种不同媒质的分界面上，电流密度矢量J的法向分量和电场强度E的切向分量均连续，其数学表达式为式(2-6-18)和式(2-6-19),上述边界条件也可用图2-26和图2-27表示。,图2-26电流密度的边界条件,图227恒定电场的边界条件,J1n=J2n（2-6-18）E1t=E2t（2-6-19）将上述边界条件用电位函数表示为,（2-6-20）,（2-6-21）,由式（2-6-18）和（2-6-19）可得,（2-6-22）,例如在导电率为1和2的两种导电媒质分界面上有下列式子成立,联立以上两式得,（2-6-23）,【例2-7】如图2-28所示的两层介质

32、的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a，分界面半径为b，外导体半径为c；两层介质的介电常数分别为1和2、漏电导率为1和2。当外加电压为U时，计算介质中的电场强度、分界面上的自由面电荷密度及单位长度的电容及漏电导。,图2-28两层介质的同轴线,2.7静电场边值问题,在以上各节中，我们讨论的是电荷分布已知的情况下求无界空间的静电场问题。然而，实际中我们还遇到一些在给定边界条件下求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题，这类问题通称为边界值问题(BoundaryValueProblem)。,实际的边值问题可以归结为以下三类：（1）已知场域边界面S上各点电位的值，即给定|S=f1(S)（

33、2-7-1）称为第一类边界条件或“狄利克莱”条件。这类问题称为第一类边值问题。（2）已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定,（2-7-2）,称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。这类问题称为第二类边值问题。,（3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，即给定,（2-7-3）,称为第三类边界条件或“混合边界条件”。这类问题称为第三类边值问题。,如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况，则在无限远处电位为有限值，即,（2-7-4）,式（2-7-4）称为自然边界条件。,2.7.1泊松方程和拉普拉斯方程在线性、各向同性、均匀的电介质中，

34、将式（2-1-16）代入式（2-2-9）得,（2-7-5）,式（2-7-5）称为静电场的泊松方程(PoissonsEquation)，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。,对于那些电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即V=0，因而有2=0（2-7-6）式（2-7-6）称为拉普拉斯方程(LaplacesEquation)。,2.7.2唯一性定理在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，这称为静电场的唯一性定理(UniquenessTheorem)。现在，我们用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。考

35、虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理,令上式中=，得,由于2=0，所以有,设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有1和2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差=1-2也满足方程2=0,（2-7-7）,在边界S上，电位1|S=2|S=|S，所以在边界S上的值为|S=1|S-1|S=0，式（2-7-7）变为,（2-7-8）,2.7.3静电场边界值问题的解法求解边值问题的方法，都基于唯一性定理，一般可以分为解析法和数值法两大类。由于篇幅所限，我们只介绍解析法中的镜像法和分离变量法。1.镜像法镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解

36、决。,使用镜像法时要注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷;（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域;（3）导电体是等位面。,图2-29平面边界上的点电荷与其镜像,例如，在无限大导电平面上方d处有一点电荷，则导电平面对点电荷的影响可以用置于导电平面下方的镜像电荷-q来代替，如图2-29所示，空间任一点P(x,y,z)的电位为,【例2-8】图2-30为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为100nC的点电荷置于（3，4，0）点，求（3，5，0）点处的电位和电场强度，其中各坐标单位为m。,图2-30两垂直平面间的点电荷,【例2-9】自由空间中一接地导体球半径为a，一点

37、电荷q置于距球心距离d处，如图2-31所示。（1）计算导体球的表面电荷密度；（2）若将接地线断开，求球外任一点的电位。,图231接地导体球外的点电荷,2.分离变量法分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。,如果待求问题的边界面形状适合用直角坐标系表示，则用直角坐标系中的分离变量法求解。在直角坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为,（2-7-9）,将待求的电位函数用三个单变量函数的乘积来

38、表示，即(x,y,z)=f(x)g(y)h(z)（2-7-10）,将式（2-7-10）代入式（2-7-9）中，并除以后，得,（2-7-12）,（2-7-13）,（2-7-14）,（2-7-15）,以f(x)为例。若kx为实数，则微分方程（2-7-12）的解为f(x)=A1sinkxx+A2coskxx（2-7-16）若kx为虚数，令kx=jx（x为实数），则微分方程（2-7-12）的解为f(x)=B1sinhxx+B2coshxx（2-7-17）或,（2-7-18）,若kx=0，则微分方程（2-7-12）的解为f(x)=C1x+C2（2-7-19)g(x)和h(z)的情况类似，ky和kz的不同

39、取值，方程（2-7-13）和（2-7-14）对应相应解的形式。,【例2-10】如图2-32所示的长方形截面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与槽绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。,图232导体槽中的电位,【例2-11】如图2-33所示的两板距离为d的平行板电容器中存在着体密度为V的恒定电荷，其中一块板的电位为零，另一块板的电位为U0，求电容器内的电位分布。,图2-33电容器中的电位,习题,2.1两点电荷q1=8C，位于x轴上x=4处，q1=-4C，位于y轴上y=4处，求z轴上点(0,0,4)处的电场强度。2.2一个半径为a的半圆上均匀分布着线电荷密度l，求垂直于

40、圆平面的轴线上z=a处的电场强度。,2.3一个点电荷+q位于(-a,0,0)处，另一个点电荷-2q位于(a,0,0)处，求电位等于零的面；空间中有电场强度等于零的点吗？2.4真空中一个球心在原点的半径为a的球面，在点(0,0,a)和(0,0,-a)处分别放置点电荷+q和-q，试计算球赤道圆平面上电通密度的通量。2.5试求半径为a，带电量为Q的均匀带电球体的电场。,2.6两无限长的同轴圆柱导体，半径分别为a和b（ab区域内电场强度等于零，则和应满足什么关系？,图题2.6,图题2.7,2.7半径分别为a和b（ab），球心距离为c（ca-b）的两球面间均匀分布有体密度为V的电荷，如图题2.7所示。求

41、空间各区域的电通量密度。2.8长度为2l的线电荷，电荷的线密度为l，求:（1）空间任一点的电位函数；（2）线电荷平分面上的电位函数。,2.9一半径为a的薄导体球壳，在其内表面涂覆了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q的电荷，已知内部的电场为，计算:（1）球内电荷分布；（2）球的外表面的电荷分布；（3）球壳的电位；（4）球心的电位。,2.10电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为（1）求圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是由什么材料制成的？表面有电荷吗？,2.11电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为,此介质球表面的边界条件如何？计算球

42、表面的电荷密度。,2.12设z=0为两电介质的分界面，在z0的区域1中充满相对介电常数为r1=2的介质，而在z0的区域2中充满相对介电常数为r2=3的介质。已知区域1中的电通量密度为D1=ax2y-ay2x+az(2+z)我们能求出区域2中哪些地方的E2和D2？能求出2中任意点处的E2和D2吗？2.13两无限大平行板电极，距离为d，电位分别为0和U0，板间充满电荷密度为0 x/d，如图题2.13所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。,图题2.13,图题2.14,2.14无限大空气平行板电容器的电容量为C0，将相对介电常数为r=4的一块平板平行地插入两极板之间，如图题2.14所示。（1）在