第4章 集合论基础

1、第四章，二项关系和函数，4.1，集合的笛卡尔乘积和二项关系，秩序对(序偶)，从两个要素x和y按一定的顺序排列的二项组被称为一个秩序对。 例如： 秩序对数记述为秩序n组，秩序n组(n2 )是秩序对，第一个要素是秩序n-1组，n组在数学中以秩序n组的形式来表现。 例如，诸如n -维向量的笛卡尔乘积设a、b为集合，设a元素为第一元素，设b元素为第二元素，从而构成秩序对。 将这样的秩序对的集合全部称为a与b的笛卡儿积，标记为AxB的话，从数组组合的知识来看，a有m个要素，b有n个要素，AxB有mn个要素。 如果笛卡儿积的性质(1)、1:a，b中的一个是空集合，则他们的笛卡儿积是空集合，也就是说，2:a

2、、b、c不是空集合时，上式说明结律改变了秩序对的顺序性，因此笛卡儿积不符合结律。 3:ab、a、b都不是空集合时，上式表示笛卡尔乘积运算不符合交换律。 笛卡儿积的性质(2)，4 :笛卡儿积运算对运算满足分配律，即考虑由集合要素的无序性和秩序性和秩序性构成的笛卡儿积，和他们的区别和联系。笛卡儿积的例题，例4.2 :将a、b、c、d作为任意的集合，判断下式是否成立，说明了什么？ n次笛卡尔乘积设为集合(n2orn=2)，其中n次笛卡尔乘积可以简记为：二元关系(1)，如果一个集合是空的或所有元素都是有序对，则n次笛卡尔乘积可以是其中的n次笛卡尔乘积关于二元关系r，记为xRy，记为xRy。二项关系(2

3、)，a，b集合，AxB的任意子集中定义的二项关系称为从a到b的二项关系，特别是在A=B的情况下，称为a上的二项关系。 常见的二项关系：空关系、全域关系、恒等关系在关系以下，可以整除关系。 二项关系例题，例4.4，关系矩阵(1)、关系矩阵(2)，a=1，2，3，4，上的关系R=，的矩阵，关系图，4.2，关系的运算，定义域，值域，域，定义域domR，值域ranR，域fldR，定义域，值域，域，域，图的(教材P86 )，关系的逆与合成，f的逆为f与g的合成，逆与合成的例题，例4.6将f、g设为n上的关系，求出。 关系运算的性质(1)、关系运算的性质(1)、幂运算、r为a上的关系、n为自然数、r的幂运

4、算：根据上述的定义：幂运算例题(矩阵法)、例4.8、幂运算的性质、r为a上的关系、m、n为自然数时，下式成立：4.3、关系的性质、关系的性质的例题(例4.9是判断关系图性质的关系性质的例题(1)，图1的关系在1、2、3上是对称的，图没有单边，也不是自反，有时在自反的定点是否有环，也没有传递性。 图2的关系是在相反的无顶点处有一个循环，相反的都称为单侧并且被传达。 图3的关系是自负的，相反的，但不是传递的。 4.4、关系的闭包，对某个关系，增加最少的秩序对，使其具有某种性质(自反性、对称性或传递性)的话，就能得到与之相应的性质的闭包(自反性闭包、对称闭包或传递闭包)。 关系闭包具有某种特殊的性质

5、，因为在解决问题时很实用，所以必须学习关系闭包。 关系闭包定义，r是非空集合a上的关系，r的自闭包(对称闭包或传递闭包)是a上的关系(1) :自反的(对称的或传递的)。 (2):(3) :处于包含a上的任意r的自反关系(对称性或传递性关系)。 若传递逆闭包r(R )、对称闭包s(R )、闭包t(R )，将关系闭包的结构(1)、r设为非空集合上的关系，则求出关系闭包的结构(1)、关系闭包的结构例题，例4.10求出A=a、b、c、d、R=、r(R )、s(R )、t(R ) (对于有限集合a，r的应该不同的只有有限种类。) 4.5、等价关系和偏置关系、等价关系，把r设为非空集合a上的关系，如果r是

6、逆、对称、传递的话，把r称为a上的等价关系。 等价关系例题、例4.11对型3的等价关系扩大，可以对任意的正整数n定义z上的型n的等价关系。 等价类(1)，r是非空集合a上的等价关系，对任何一个，x被称为关于r的等价类，简称为x的等价类，记为x。 这里，x是代表元。 等价类(2)，在例子4.11中，1=4=7=1，4，7，2=5=8=2，5，8，3=6=3，6。 z上的型n的等价关系，把n个等价类i=n*k i|k称为整数，i=0、1、2、等价关系的性质，把r称为非空集合a上的等价关系，把商集，把r称为非空集合上的等价关系，把r不交叉的等价类作为要素的集合称为r下的商集，记为A/R。 即，在例4

7、.11中，a为r以下的商集记为：a/r=1、4、7、2、5，商集例题，例4.131 .非空集合a上的全域关系为a上的等价关系，相对于a中的任意x，x=A，商集2 .非空集合a上的恒等关系为a上的等价关系、划分、划分例题(1)，例4.15设a=1、2、3，求出上述所有等价关系。 配对的三个划分：有一个划分块2、3、4有两个划分块5三个划分块。 划分例题()的偏置关系(一个顺序意义)，作为非空集合上的关系，如果传递了相反的和，则称为上的偏置关系，简称偏置，如果属于，则xy .注：这里的x、y不一定是数，xy，记为排序的概念偏差集、个集和上的偏差关系一起称为偏差集，并标记。 另外，为全顺序集、偏移，

8、若可对a中的任意的x、y进行比较，则被称为上述的全顺序关系，并被称为全顺序集。 完整顺序集的含义：如果与集有关，则可以对的元素进行排序。 由于全顺序集的哈斯特性图是直线的，所以全顺序集也被称为线顺序集。 哈斯勒图，偏置集的哈斯勒图，例4.16中描绘的哈斯勒图。 偏集中的特征要素，注：有限集合、极大、极小必然存在，最大、极小不一定存在(如果存在则是唯一的)。 如果存在顶部边界或底部边界，则偏差集的边界必定是唯一的。 4.6、函数的定义和性质、函数的定义(1)、f设为二元关系，在任意的xdomF中存在唯一的yranF而xFy成立时，将f称为函数，将F(x)=y，y记为f在x上的函数值。 函数的定义(2)、函数的像、函数的性质：判断单射、满射、复射、函数、函数例题(1)