第9章矩阵位移法

1、第九章矩阵位移法9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(整体坐标)9-4连续梁整体刚度矩阵9-5刚架整体刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和实例9-8矩形刚架整体分析忽略轴向变形9-9桁架和组合结构整体分析，Matlab-9与传统方法的区别，结构力学的传统方法和结构矩阵分析方法相同但不同：它们在原理上相同但在实践中不同。简单地说，前者是在“手工计算”时代形成的，而后者侧重于“计算机计算”。不同的计算方法导致不同的计算方法。与传统的力法和位移法相对应，结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法和刚度法。矩阵位移法因其计算过程易于编程的优点而被广泛应用。本章只讨论

2、矩阵位移法。有限元方法包括两个基本环节：1 .元素分析；2.整体分析，将整体分解成几个元素(在条形结构中，每个条形通常被视为一个元素)，这个过程称为离散化。然后这些单元根据一定的条件被整合成一个整体。在一一、一一、一一、再一一的过程中，复杂结构的计算问题转化为简单元素的分析和集合问题。有限元法的要点、有限元法的要点和矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时被称为杆系结构的有限元法。本章将使用有限元法中的一些术语和表达式。整体分析的主要任务是将单元组装成一个整体，根据刚度积分规则由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，并建立整体结构位移法的基本方程，从而得到解。在本节和下一节中，对平面结构的杆件

3、单元进行了分析，得到了单元刚度方程和单元刚度矩阵。元素分析和整体分析，第9章矩阵位移法， 9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(全局坐标系)9-4连续梁的整体刚度矩阵9-5刚架的整体刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和计算示例9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析9-9桁架和组合结构由于它们是在每个单元中单独编码的(不是在刚架的所有单元中统一编码)，所以它们被称为局部编码杆端位移分量(或杆端力分量)的局部编码。杆端力和杆端位移、弯矩和转角的符号：绕杆端顺时针方向为正；其他：与坐标轴相同的方向是正的。I、E、I、a、l、j:顺时针为正、E、杆端位移、杆端力、局部坐标

4、系、E、单元刚度方程，忽略轴向应力状态和弯曲应力状态的相互影响，分别推导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，从杆端的轴向位移可以计算出杆端相应的轴向力。根据角位移方程，用本章的符号、弯曲变形、矩阵形式和刚度矩阵代替。1)单元刚度系数的含义，每个单元称为单元刚度系数，表示单位杆端位移引起的杆端力。单元刚度矩阵的性质，2)对称矩阵，3)奇异矩阵，一般单元中的正问题和逆问题，并且解不是唯一的。对于一般单元，只能从杆端的力计算变形，而不能从杆端的总位移(刚体位移变形)计算变形。求解唯一的e，e，e，e，e，e一般单元的刚度方程，其中六个杆端的位移可以指定为任意值。结构中有一些特殊的元素，元素的一个或

5、一些杆端的位移已知为零，不能任意指定。各种特殊单元的刚度方程不需要单独推导，可以自动获得因此，一般单元的刚度矩阵只采用一种标准化形式，各种特殊形式的单元刚度矩阵将由计算机程序自动形成。在计算连续梁时，通常忽略轴向变形。如果将每个跨度梁视为一个单元，则只有杆端的两个位移分量可以指定为任意值，而其他四个分量已知为零。忽略连续梁单元的刚度方程，只有单元两端的角位移是可逆的。奇点，力学模型的正问题，两端各有两个支柱和一个控制旋转角度的附加约束，并且可以指定为任何值。反问题的力学模型，每一端有两个支柱，而支柱两端的力矩是任意的。因为反问题的力学模型是一个几何不变系统，当它是一个任意值时，杆端的旋转角有一

6、个解并且是唯一的解。由此得出存在的结论。桁架单元的刚度方程，e，e，e，奇异，不可逆，梁单元的刚度方程忽略刚架的轴向变形，奇异，不可逆，e，e，e，思维：刚架忽略桁架的轴向变形？第九章矩阵位移法9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(整体坐标)9-4连续梁整体刚度矩阵9-5刚架整体刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和实例9-8忽略轴向变形的矩形刚架整体分析9-9桁架和组合结构整体分析、节点力、单元坐标变换矩阵、整体坐标系中的单元杆端位移矩阵， 整体坐标系中单元杆端力与杆端位移的关系可以写成：整体坐标系中的单元刚度矩阵、和整体坐标系中的单元刚度矩阵是同阶的，具有相似的

7、性质。 (1)元素表示当全局坐标系中第(j)个杆端位移分量等于1时产生的第(I)个杆端力分量。(3)一般元素是奇异矩阵。(2)是对称矩阵。尝试在整体坐标系中找到框架中每个单元的刚度矩阵。让每个杆的长度和截面尺寸相同。例9-1，bh0.5m1m(截面尺寸)，元素(1)，元素(2)，解，全局坐标系中的丹冈，局部坐标系中的丹冈、第9章矩阵位移法， 9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(整体坐标)9-4连续梁整体刚度矩阵9-5刚架整体刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和示例9-8忽略轴向变形的矩形刚架整体分析9-9桁架和组合结构整体分析简介整体刚度方程通过位移法建立，特别

8、是当通过叠加节点对计算结构的节点f时， 整体刚度方程、整体刚度矩阵、传统位移法和传统位移法，分别考虑各节点位移对f的贡献，然后叠加。 当用单元积分法计算f时，每个单元对f的贡献分别考虑，然后叠加。其特点是“细胞直接整合”。考虑到单元(1)的贡献，整个结构的节点力仅由单元(1)产生。单元积分法单元(1)、凌、贡献矩阵、单元积分法单元(2)、贡献矩阵、单元积分法，用单元积分法计算整体刚度矩阵的步骤可以表示为：单元刚度矩阵、单元贡献矩阵、整体刚度矩阵、两个代码之间的关系、单元贡献矩阵，1)首先将K设置为零，然后，根据该方法，所有单元循环一次，最后，得到实施方案。3)k(2)的元素位于k中并累积。此时

9、，k(1)在定位时被积分，然后获得积分k(2)的最终结果，并且获得积分结果。尝试获得图示连续梁的整体刚度矩阵k。例2，单元集成过程。它表示当第个节点位移分量(其他节点位移分量为零)时产生的第个节点力。(2)K是对称矩阵(反作用力的互等定理)，全局的性质(3)K是可逆的。(连续梁是没有刚体位移的几何不变系统。)，(4)K是稀疏矩阵和带状矩阵。整体刚度矩阵的性质，稀疏性：有许多零元素。带状：在主对角线和两个子对角线的带状区域中只有非零元素。对于具有N个节点位移的连续梁，整体刚度矩阵如下：第9章矩阵位移法，9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(整体坐标)9-4连续梁整体刚度矩

10、阵9-5刚架整体刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和实例9-8矩形刚架整体分析忽略轴向变形节点位移和节点力，整体代码：仅编码节点0的位移，局部代码：编码杆的位移与连续梁相比，这种情况的复杂性表现在以下几个方面：(1)一般应考虑刚架中各杆件的轴向变形，特殊情况下应忽略杆件的轴向变形；2)刚架中每个节点的位移分量应增加到三个：两个方向的角位移和线位移；3)刚架中杆件的方向不同，整体分析应采用整体坐标；4)在刚架中，除刚性节点外，还应考虑铰链等其他条件。复杂度，单位定位向量，(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)30000-30000(2)012300-1230(3)0301000-305

11、0104(4)-。(1)(2)(3)(6)1234(1)1300000(2)20123030104(3)3030100.50。(6)403050.100。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)120-30-120-30(2)030000-3000(3)-300100.30050104(4)-1203012030。(1)(2)(3)1234(1)1300(12)0(0)0(-30)0(2)20(0)12(300)30(0)30104(3)30(-30)30、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)30000-30000(2)012300-1230(3)0301000-3050101000(

12、1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)120-30-120-30(2)030000-3000(3)-300100.30050104(4)-1203012030。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)120-30-120-30(2)030000-3000(3)-300100.30050104(4)-1203012030。9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(整体坐标)9-4连续梁刚度矩阵9-5刚架刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和示例9-8忽略轴向变形的矩形刚架整体分析9-9桁架和组合结构的整体分析。前两节讨论了结构的整体刚度矩阵K，建立了整体刚度方程。整体

13、刚度方程是根据原结构位移法的基本体系建立的，它代表了由关节位移计算关节力(即基本体系附加约束产生的约束力)f的关系式。它只反映结构的刚度特性，不涉及作用在原结构上的实际荷载。它不是用于分析原始结构的位移法的基本方程。为了建立位移法的基本方程，我们回顾了位移法基本体系的两种状态，即，(1)让荷载单独作用，以及节点在基本结构中的约束力；(2)让节点位移单独作用，位移法的基本方程是位移法的基本方程，而等效原则是这两种荷载在基本结构中产生相同的节点约束力。等效节点荷载的概念，如果将基础结构中由原始荷载引起的节点约束力写成，那么基础结构中由等效节点荷载引起的节点约束力也应该是。由此可以得出以下结论：如果

14、代入，位移法的基本方程可以写成如下。因此，如果用等效节点载荷p代替刚度方程中的节点约束力f，就可以得到位移法的基本方程。等效节点荷载的形成，F1P，无节点位移，只有节点位移，F3P，(1)单元的等效节点荷载(局部坐标系)，等效节点荷载采用单元积分法计算，并在单元两端增加6个附加约束来固定两端。在给定载荷下，可以得到六个固定端约束力，它们构成固定端约束力向量，(2)单元的等效节点载荷(全局坐标系)，和(3)整个结构的等效节点载荷。根据单位定位向量，将每一个元素依次定位并累加到P中，最终得到P。单元固定端约束力(局部坐标系)，单元固定端约束力(局部坐标系)，7，单元固定端约束力(局部坐标系)，试图

15、找到给定荷载下图示刚架的等效节点荷载向量p。例3:首先，在局部坐标系中找到固定端的约束力，元素，元素，解；第二，各单元在全局坐标系中的等效节点载荷，单元和的倾角分别为，(1)1，(2)2，(3)3，(6)4，单元(2)，单元(2) (1)在局部坐标系中单元的固定端力，解，(2)单元在全局坐标系中的等效节点载荷，综合单元，单元定位，结构的等效节点载荷，(3)结构的等效节点载荷，节点载荷定位，单元等效节点积分，综合单元，综合单元(3)节点等效节点荷载积分，节点荷载定位，第9章矩阵位移法，9-1概述9-2单元刚度矩阵(局部坐标系)9-3单元刚度矩阵(整体坐标)9-4连续梁整体刚度矩阵9-5刚架整体刚度矩阵9-6等效节点荷载9-7计算步骤和实例9-8忽略轴向变形的矩形刚架整体分析9-9桁架和组合结构的整体分析，用矩阵位移法求解平面刚架的步骤， (1) (2)在整体坐标系中形成单元刚度矩阵，(3)“变码重排基”，形成整个结构的刚度矩阵，(2)确定整体和局部坐标系，单元和节点的位移码，(3)形成等效节点载荷，(1)在局部坐标系中形成单元的固定端力，(2)在整体坐标系中形成单元的等效节点载荷，(3)“变码重排基”4。 求解整体刚度方程，求出节点位移，5。求每个单元的内力，(1)单元杆端在