第七章 应力状态和强度理论

1、第七章应力状态和强度理论(StressStateandStrengthTheory),7-1应力状态的概念,弯+扭-怎么办？,两个问题,应力叠加,强度标准,应力状态理论,强度理论,低碳钢,铸铁,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,低碳钢,铸铁,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,2、应力状态的研究方法,一点应力状态：该点处单元体各截面上的应力情况。,一点微元（有结构，不同于数学点）应力六面体各面上皆有应力（正，切）,微元或单元体（Element）无穷小正六面体,dx，dy,dz0,状态,分布-均匀,对应量-相等,对面正应力,邻面切应力,PlaneStateofStresses,平面（二向）

2、应力状态,Three-DimensionalStateofStresses,三向（空间）应力状态,7-2平面应力状态,1、斜截面上的应力,设斜截面BC的面积为dA,选取垂直于斜截面的n轴和平行于斜截面的t轴为参考坐标轴，考虑楔形体ABC在n方向的平衡，由平衡条件：,由切应力互等定理，上式可简化为：,考虑楔形体在t方向的平衡，则由平衡条件：,符号定义：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力在其绕单元体内任一点为顺时针转向时为正，反之为负；夹角，规定从x轴转到斜截面的外法线n，逆时针转向时的角度为正，反之为负。,例7-1一单元体如图，试求在=30的斜面上的应力。,解：（1）确定应力和夹角的符号,（

3、2）求斜截面上的正应力和切应力,2、极值正应力和极值切应力,极值正应力所在的平面，就是切应力为零的平面。,切应力为零的平面，叫做主平面，主平面上的正应力，叫做主应力；,两个主平面相互垂直，两个主应力相互垂直。,两平面上的最大正应力和最小正应力为：,求极值切应力,若以1表示极值切应力所在平面的法线与x轴间的夹角，由可得：,极值切应力的所在平面与主平面成45角,最大切应力和最小切应力为：,极值切应力作用面与极值正应力作用面的关系为：由max作用面顺针时45至min作用面，反时针转45至max作用面。,例7-2试例7-1所示单元体的主应力和最大切应力,解：(1)求主应力,确定主平面的位置,（2）求极

4、值切应力,确定极值切应力的作用面,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,附题：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（1）斜面上的应力,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入表达式可知,主应力方向：,主应力方向：,（3）主应力单元体：,作业：7-3(b)、7-4(b)、7-5(b)、7-7,两平面上的最大正应力和最小正应力为：,应力转换方程,3、应力圆,4、纯剪切和单向应力状态,当单元体处于纯剪切应力状态时，主平面与纯剪切面成45角，其上的主应力值为,(1)纯剪切应力状态,(2)单向应力状态,单向应力状态下任意斜截面上的应力计算公式：,7-3空间应力

5、状态,1、空间应力状态的概念和实例,Three-DimensionalStateofStresses,三向（空间）应力状态,PlaneStateofStresses,平面（二向）应力状态,单向应力状态OneDimensionalStateofStresses,纯剪应力状态ShearingStateofStresses,三向应力状态,平面应力状态,2、最大正应力和最大切应力,对各类应力状态的单元体，第一主应力1是各不同方向截面上正应力的最大值，而第三主应力3则是各不同方向截面上正应力中的最小值，即,（1）基本变形时的胡克定律,i）轴向拉压胡克定律,横向变形,ii）纯剪切胡克定律,、广义胡克定律,

6、2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,因此沿1方向的总应变为：,(3)广义胡克定律的一般形式,7-4材料的破坏形式,1、材料破坏的基本形式脆性断裂塑性屈服,金属材料具有两种极限抵抗能力：一种是抵抗脆性断裂的极限抗力，另一种是抵抗塑性屈服的极限抗力,脆性材料拉伸(铸铁),脆性材料扭转(铸铁),塑性材料扭转(低碳钢),塑性材料拉伸(低碳钢),2、应力状态对材料破坏形式的影响,压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的切应力等因素在对材料破坏起作用；构件内的切应力将使材料产生塑性变形；在三向压缩应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；拉应力则易于使材料产生脆性断裂；而三向拉伸应力状态则使材料发生脆

7、性断裂的倾向最大。,圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。,7-5强度理论,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1.杆件基本变形下的强度条件,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，

8、低温脆断等。,关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论,(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,1、最大拉应力理论（第一强度理论）(MaximumTensile-StressCriterion),最大拉应力是引起材料脆性断裂的原因,适用于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢等。,铸铁拉伸,铸铁扭转,2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）,引起材料发生脆性断裂的主要因素是最大伸长线应变max，无论材料处于何种应力状态，只要构件危险点处的最大伸长线应

9、变max=1达到某一个极限值u时，就会引起材料的脆性断裂。,破坏条件可写为：,考虑安全系数后，可得在复杂应力状态下的强度条件为：,此强度理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合;脆性材料如合金铸铁，低温回火的高强度钢和石料等是大致符合的。,3、最大切应力理论（第三强度理论）,引起材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力max，无论材料处于何种应力状态，只要构件中的最大切应力达到某一个极限值u时，就会引起材料的塑性屈服。,极限切应力可通过拉抻试验测定，其值为屈服时试件横截面上的正应力的一半，即：,此强度理论适用于塑性材料，如Q235，45钢，铜，铝等,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,4、形状改

10、变比能理论（第四强度理论）,该理论认为：使材料发生塑性屈服的主要原因，取决于形状改变比能，也就是说，无论材料处于何种应力状态，只要当其形状改变比能达到某一极限时，就会引起材料的塑性屈服；而这个形状改变比能的极限值，则可通过简单拉伸试验来测定,材料的破坏条件和强度条件分别为：,四个强度理论而建立的强度条件可归为如下统一形式：,二、强度计算的步骤：,1、外力分析：确定所需的外力值,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面,3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力然后进行强度校核,三、强度理论的选择和应用,（1）强度理论的选择在

11、常温、静载的条件下：脆性材料：通常采用最大拉应力理论，或最大伸长线应变理论。,塑性材料：通常采用最大切应力理论，或形状改变比能理论。,（2）强度理论的应用a.推知在某一种应力状态下的许用应力；,b.在强度计算中的应用,作用在纵截面上正应力沿着圆周的切线方向，称为环向应力(hoopstress)，用t表示；,作用在横截面上正应力沿容器轴线方向，称为轴向应力或纵向应力(longitudinalstress)，用m表示；,列静力学方程：,讨论：在容器内壁，由于内压作用，还存在垂直于内壁的径向应力=-p，由于D/1，与m,t相比，很小，而且自内向外沿壁厚方向逐渐减小，至外壁时变为零，因此可以忽略。,如果在筒壁上按通过直径的纵向截面和横向截面截取出一个单元体，则此单元体处于平面应力状态。,薄壁圆筒常用象低碳钢类的塑性材料制成，所以可采用最大切应力理论，或形状改变比能理论。,例7-4从某构件的危险点处取出一单元体如图所示，已知钢材的屈服点s=280MPa。试按最大切应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。,解：（1）求主应力,各主应力值为：,（2）计算工作安全系数,按最大切应力理论单元体的相当应力为：,单元体的工作安全系数为：,按形状改变比能理论，单元体的相当应力为：,单元体的工作安全系数为：,小结,1、一点应力状态是指通过构件内一点的各个