刚体角速度和角加速度的矢量表示

1、第七章点的一般运动、刚体的基本运动,引言,一、空间、时间与物质运动的关系,1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，空间、时间与物质的运动是相互关联的。,2、经典力学范围内，认为空间、时间与物质的运动无关。,二、运动学的研究对象,经典力学中的运动学在被认为在与运动无关的空间和时间中研究物体运动的几何性质,三、运动学的建立基础,由于经典力学中空间、时间与物体运动的无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在欧几里德几何学公理的基础上。,四、运动学中的两种力学模形：,点：不计尺寸大小的物体。刚体：形状和大小都不变化的物体。,五、运动学中与时间相关的两个重要概念瞬时和时间间隔,瞬时：在整个时间流逝过程中的

2、某一时刻。在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间轴上的一个点。开始计算时间的瞬时称为初瞬时时间间隔：两个瞬时之间流逝的时间。,六、运动学中与位置相关的重要概念参考体,参考体：描述物体的运动之前所选取的作为参照物的物体。,参考系：将所选取的参考体经抽象化处理，以坐标系的形式出现。（坐标系，参考坐标系）,1、点的运动的表示方法三种：矢径表示法，笛卡儿坐标表示法，弧坐标表示。,2、刚体的基本运动两种：刚体的平行移动，刚体的定轴转动。,内容提要,3、定轴轮系的传动比两种：齿轮传动，带轮传动。,4、刚体角速度和角加速度的矢量表示角速度矢、角加速度矢,5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示,6、泊松公式,第一

3、节：点的运动的表示方法,一、矢径表示法：,p、p动点v、v动点的瞬时速度r、r动点的瞬时矢径rt时间间隔内矢径改变量s动点运动轨迹，矢径端图o参考点,第一节：点的运动的表示方法,一、矢径表示法：,1、运动方程（运动规律）：,由于矢径r的大小与方向均随时间t而变，是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：,运动方程,2、运动速度：,平均速度,瞬时速度,速度单位,、加速度：,平均加速度,瞬时加速度,加速度单位,讨论：速度矢端图,点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的始端画在同一点o，按照时间顺序，这些速度矢量的末端将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端图。,如图所示，速度为v时的加速度方向为m

4、点的切线方向。指向速度矢变化的方向。,速度矢端图的作用：确定瞬时加速度方向。,速度矢端图,总结,动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。,变矢量a(t)对时间t的导数da(t)dt为一新变矢。此新变矢为变矢量a(t)端点的速度u。,动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数,等于位矢对时间的二阶导数。其方向为v的极限方向,二、笛卡儿坐标表示法：,1、运动方程（运动规律）：,由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐标x、y、z又是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：,运动方程,2、运动速度：,速度的笛卡儿坐标表达式,速度的笛卡儿坐标轴上的投影

5、式,合速度大小,合速度方向,合速度的方向由其方向余弦确定,2、运动加速度：,同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：,加速度的笛卡儿坐标表达式,加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式,合加速度大小,合加速度方向,合加速度的方向由其方向余弦确定,总结,笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐标对时间的一阶导数。动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二阶导数。,三、弧坐标表示法：,o点参考点、弧坐标原点。s弧坐标、o点至动点m的弧长。是时间的单值函数。正负号规定参考

6、点的一侧方向为正向，相应部位的弧长为正值；另一侧方向为负向，相应部位的弧长为负值。,概念,自然轴系,由于m点附近的微小弧段可以可以近似的看成为一条在密切面内的平面曲线，因此对平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。,自然轴系方向规定,的正向指向弧坐标正向，n的正向指向曲线在m点的曲率中心，b的正向则由右手规则决定，即b=n,自然轴系特征及与笛卡儿坐标系的区别,自然轴系、n、b的方向随动点位置的变动而变动，单位矢量、n、b的方向不断变化。笛卡儿坐标系为固定坐标系，单位矢量i、j、k为定矢。,运动方程,由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐标s又是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：,2

7、、运动速度：,公式推导,结论,动点的速度沿其运动的轨迹方向，大小等于弧坐标对时间的一阶导数。,3、运动加速度：,切向加速度,法向加速度,反映速度大小的加速度,反映速度方向变化的加速度,讨论：法向加速度的计算,计算法向加速度需首先清楚曲线曲率的概念，为此，下面对曲率进行分析。,全加速度,匀速曲线运动,匀变速曲线运动,例4.曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构(下图）当曲柄oa绕0轴转动时，由于连杆ab带动，滑块b沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用它将回转运动转换为往复直线运动。设曲柄oa

8、长为r，以匀角速绕0轴转动，即=t，连杆ab长为l。试求滑块b的运动方程、速度和加速度。,本节完,第二节刚体的基本运动,本节完,第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示点的速度与加速度的矢积表示,表示转轴位置、角速度大小及方向的矢量。,方向按右手法则确定,一、刚体的角速度与角加速度的矢量表示,角速度矢,设oz的正向单位矢为k，则：,角加速度矢,总结,因角速度矢、角加速度矢可以从转轴上的任意点画起，故其为滑动矢量。刚体转动时，与同向则加速，反向则减速。,二、点的速度与加速度的矢积表示,速度,上式之所以成立，原因有两个：按照右手螺旋法则，等号两边矢量的方向一致。等号两边矢量的模相等。,加速度,上式之所以成立，原因同样有两个：按照右手螺旋法则，等号两边矢量的方向一致。等号两边矢量的模相等。（证明略